Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65533 / 44633
↖ ↑ ↗
← N 49.680070°
W  0.008240°		 ← 197.63 m → N 49.680070°
W  0.005493°		 →
↑
197.63 m
↓
↑
197.63 m
↓
N 49.678292°
W  0.008240°		 ← 197.63 m →
39 057 m²		 N 49.678292°
W  0.005493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499980926513672 y=0.340526580810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499980926513672 × 217)
    floor (0.499980926513672 × 131072)
    floor (65533.5)     		tx = 65533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340526580810547 × 217)
    floor (0.340526580810547 × 131072)
    floor (44633.5)     		ty = 44633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65533 / 44633 ti = "17/65533/44633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65533/44633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65533 ÷ 217
    65533 ÷ 131072     		x = 0.499977111816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44633 ÷ 217
    44633 ÷ 131072     		y = 0.340522766113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499977111816406 × 2 - 1) × π
    -4.57763671875e-05 × 3.1415926535     		Λ = -0.00014381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340522766113281 × 2 - 1) × π
    0.318954467773438 × 3.1415926535     		Φ = 1.00202501275803
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00014381} λ = -0.00014381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00202501275803))-π/2
    2×atan(2.72379196100302)-π/2
    2×1.21893855819865-π/2
    2.4378771163973-1.57079632675     		φ = 0.86708079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00014381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.008240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86708079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.680070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65533 KachelY 44633 -0.00014381 0.86708079 -0.008240 49.680070
    Oben rechts KachelX + 1 65534 KachelY 44633 -0.00009587 0.86708079 -0.005493 49.680070
    Unten links KachelX 65533 KachelY + 1 44634 -0.00014381 0.86704977 -0.008240 49.678292
    Unten rechts KachelX + 1 65534 KachelY + 1 44634 -0.00009587 0.86704977 -0.005493 49.678292
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86708079-0.86704977) × R
    3.10199999999927e-05 × 6371000     		dl = 197.628419999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86708079-0.86704977) × R
    3.10199999999927e-05 × 6371000     		dr = 197.628419999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00014381--0.00009587) × cos(0.86708079) × R
    4.794e-05 × 0.647055033211936 × 6371000     		do = 197.62726233948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00014381--0.00009587) × cos(0.86704977) × R
    4.794e-05 × 0.647078683891752 × 6371000     		du = 197.634485865864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86708079)-sin(0.86704977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647055033211936-0.647078683891752)×R²
    abs(-0.00009587--0.00014381)×2.3650679816023e-05×R²
    4.794e-05×2.3650679816023e-05×6371000²
    4.794e-05×2.3650679816023e-05×40589641000000     		ar = 39057.4773951305m²