Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65530 / 44676
↖ ↑ ↗
← N 49.603591°
W  0.016479°		 ← 197.94 m → N 49.603591°
W  0.013733°		 →
↑
197.95 m
↓
↑
197.95 m
↓
N 49.601811°
W  0.016479°		 ← 197.95 m →
39 182 m²		 N 49.601811°
W  0.013733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499958038330078 y=0.340854644775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499958038330078 × 217)
    floor (0.499958038330078 × 131072)
    floor (65530.5)     		tx = 65530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340854644775391 × 217)
    floor (0.340854644775391 × 131072)
    floor (44676.5)     		ty = 44676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65530 / 44676 ti = "17/65530/44676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65530/44676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65530 ÷ 217
    65530 ÷ 131072     		x = 0.499954223632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44676 ÷ 217
    44676 ÷ 131072     		y = 0.340850830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499954223632812 × 2 - 1) × π
    -9.1552734375e-05 × 3.1415926535     		Λ = -0.00028762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340850830078125 × 2 - 1) × π
    0.31829833984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.999963726074371
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00028762} λ = -0.00028762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.999963726074371))-π/2
    2×atan(2.71818322749449)-π/2
    2×1.21827115111866-π/2
    2.43654230223732-1.57079632675     		φ = 0.86574598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00028762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.016479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86574598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.603591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65530 KachelY 44676 -0.00028762 0.86574598 -0.016479 49.603591
    Oben rechts KachelX + 1 65531 KachelY 44676 -0.00023968 0.86574598 -0.013733 49.603591
    Unten links KachelX 65530 KachelY + 1 44677 -0.00028762 0.86571491 -0.016479 49.601811
    Unten rechts KachelX + 1 65531 KachelY + 1 44677 -0.00023968 0.86571491 -0.013733 49.601811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86574598-0.86571491) × R
    3.10700000000219e-05 × 6371000     		dl = 197.94697000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86574598-0.86571491) × R
    3.10700000000219e-05 × 6371000     		dr = 197.94697000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00028762--0.00023968) × cos(0.86574598) × R
    4.794e-05 × 0.64807217341486 × 6371000     		do = 197.937923138642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00028762--0.00023968) × cos(0.86571491) × R
    4.794e-05 × 0.64809583535923 × 6371000     		du = 197.945150105511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86574598)-sin(0.86571491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64807217341486-0.64809583535923)×R²
    abs(-0.00023968--0.00028762)×2.36619443697572e-05×R²
    4.794e-05×2.36619443697572e-05×6371000²
    4.794e-05×2.36619443697572e-05×40589641000000     		ar = 39181.9274146481m²