Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65522 / 43476
↖ ↑ ↗
← N 51.692990°
W  0.038452°		 ← 189.33 m → N 51.692990°
W  0.035706°		 →
↑
189.35 m
↓
↑
189.35 m
↓
N 51.691287°
W  0.038452°		 ← 189.33 m →
35 849 m²		 N 51.691287°
W  0.035706°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499897003173828 y=0.331699371337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499897003173828 × 217)
    floor (0.499897003173828 × 131072)
    floor (65522.5)     		tx = 65522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331699371337891 × 217)
    floor (0.331699371337891 × 131072)
    floor (43476.5)     		ty = 43476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65522 / 43476 ti = "17/65522/43476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65522/43476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65522 ÷ 217
    65522 ÷ 131072     		x = 0.499893188476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43476 ÷ 217
    43476 ÷ 131072     		y = 0.331695556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499893188476562 × 2 - 1) × π
    -0.000213623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00067112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331695556640625 × 2 - 1) × π
    0.33660888671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.05748800561844
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00067112} λ = -0.00067112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05748800561844))-π/2
    2×atan(2.87912954060686)-π/2
    2×1.23650460308395-π/2
    2.47300920616789-1.57079632675     		φ = 0.90221288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00067112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.038452°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90221288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.692990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65522 KachelY 43476 -0.00067112 0.90221288 -0.038452 51.692990
    Oben rechts KachelX + 1 65523 KachelY 43476 -0.00062318 0.90221288 -0.035706 51.692990
    Unten links KachelX 65522 KachelY + 1 43477 -0.00067112 0.90218316 -0.038452 51.691287
    Unten rechts KachelX + 1 65523 KachelY + 1 43477 -0.00062318 0.90218316 -0.035706 51.691287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90221288-0.90218316) × R
    2.97200000000108e-05 × 6371000     		dl = 189.346120000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90221288-0.90218316) × R
    2.97200000000108e-05 × 6371000     		dr = 189.346120000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00067112--0.00062318) × cos(0.90221288) × R
    4.794e-05 × 0.619875039272588 × 6371000     		do = 189.325792577359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00067112--0.00062318) × cos(0.90218316) × R
    4.794e-05 × 0.619898360298838 × 6371000     		du = 189.332915419059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90221288)-sin(0.90218316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619875039272588-0.619898360298838)×R²
    abs(-0.00062318--0.00067112)×2.33210262503558e-05×R²
    4.794e-05×2.33210262503558e-05×6371000²
    4.794e-05×2.33210262503558e-05×40589641000000     		ar = 35848.778584191m²