Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65521 / 65509
↖ ↑ ↗
← N  0.074158°
W  0.041199°		 ← 305.36 m → N  0.074158°
W  0.038452°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
N  0.071411°
W  0.041199°		 ← 305.36 m →
93 265 m²		 N  0.071411°
W  0.038452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499889373779297 y=0.499797821044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499889373779297 × 217)
    floor (0.499889373779297 × 131072)
    floor (65521.5)     		tx = 65521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499797821044922 × 217)
    floor (0.499797821044922 × 131072)
    floor (65509.5)     		ty = 65509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65521 / 65509 ti = "17/65521/65509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65521/65509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65521 ÷ 217
    65521 ÷ 131072     		x = 0.499885559082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65509 ÷ 217
    65509 ÷ 131072     		y = 0.499794006347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499885559082031 × 2 - 1) × π
    -0.0002288818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00071905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499794006347656 × 2 - 1) × π
    0.0004119873046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.00129429628974152
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00071905} λ = -0.00071905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00129429628974152))-π/2
    2×atan(1.00129513425267)-π/2
    2×0.786045311361635-π/2
    1.57209062272327-1.57079632675     		φ = 0.00129430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00071905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.041199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00129430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.074158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65521 KachelY 65509 -0.00071905 0.00129430 -0.041199 0.074158
    Oben rechts KachelX + 1 65522 KachelY 65509 -0.00067112 0.00129430 -0.038452 0.074158
    Unten links KachelX 65521 KachelY + 1 65510 -0.00071905 0.00124636 -0.041199 0.071411
    Unten rechts KachelX + 1 65522 KachelY + 1 65510 -0.00067112 0.00124636 -0.038452 0.071411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00129430-0.00124636) × R
    4.794e-05 × 6371000     		dl = 305.42574m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00129430-0.00124636) × R
    4.794e-05 × 6371000     		dr = 305.42574m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00071905--0.00067112) × cos(0.00129430) × R
    4.79300000000001e-05 × 0.999999162393872 × 6371000     		do = 305.361774226893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00071905--0.00067112) × cos(0.00124636) × R
    4.79300000000001e-05 × 0.999999223293476 × 6371000     		du = 305.361792823319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00129430)-sin(0.00124636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999999162393872-0.999999223293476)×R²
    abs(-0.00067112--0.00071905)×6.08996039153098e-08×R²
    4.79300000000001e-05×6.08996039153098e-08×6371000²
    4.79300000000001e-05×6.08996039153098e-08×40589641000000     		ar = 93265.3487187375m²