Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65521 / 48079
↖ ↑ ↗
← N 43.167126°
W  0.041199°		 ← 222.72 m → N 43.167126°
W  0.038452°		 →
↑
222.79 m
↓
↑
222.79 m
↓
N 43.165123°
W  0.041199°		 ← 222.73 m →
49 621 m²		 N 43.165123°
W  0.038452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499889373779297 y=0.366817474365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499889373779297 × 217)
    floor (0.499889373779297 × 131072)
    floor (65521.5)     		tx = 65521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366817474365234 × 217)
    floor (0.366817474365234 × 131072)
    floor (48079.5)     		ty = 48079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65521 / 48079 ti = "17/65521/48079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65521/48079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65521 ÷ 217
    65521 ÷ 131072     		x = 0.499885559082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48079 ÷ 217
    48079 ÷ 131072     		y = 0.366813659667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499885559082031 × 2 - 1) × π
    -0.0002288818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00071905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366813659667969 × 2 - 1) × π
    0.266372680664062 × 3.1415926535     		Φ = 0.83683445666732
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00071905} λ = -0.00071905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.83683445666732))-π/2
    2×atan(2.30904601027347)-π/2
    2×1.16210240130859-π/2
    2.32420480261718-1.57079632675     		φ = 0.75340848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00071905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.041199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75340848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.167126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65521 KachelY 48079 -0.00071905 0.75340848 -0.041199 43.167126
    Oben rechts KachelX + 1 65522 KachelY 48079 -0.00067112 0.75340848 -0.038452 43.167126
    Unten links KachelX 65521 KachelY + 1 48080 -0.00071905 0.75337351 -0.041199 43.165123
    Unten rechts KachelX + 1 65522 KachelY + 1 48080 -0.00067112 0.75337351 -0.038452 43.165123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75340848-0.75337351) × R
    3.49700000000785e-05 × 6371000     		dl = 222.7938700005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75340848-0.75337351) × R
    3.49700000000785e-05 × 6371000     		dr = 222.7938700005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00071905--0.00067112) × cos(0.75340848) × R
    4.79300000000001e-05 × 0.729361271011827 × 6371000     		do = 222.719238319552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00071905--0.00067112) × cos(0.75337351) × R
    4.79300000000001e-05 × 0.72938519454798 × 6371000     		du = 222.726543659116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75340848)-sin(0.75337351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729361271011827-0.72938519454798)×R²
    abs(-0.00067112--0.00071905)×2.39235361529921e-05×R²
    4.79300000000001e-05×2.39235361529921e-05×6371000²
    4.79300000000001e-05×2.39235361529921e-05×40589641000000     		ar = 49621.2948262534m²