Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65514 / 43465
↖ ↑ ↗
← N 51.711715°
W  0.060425°		 ← 189.25 m → N 51.711715°
W  0.057678°		 →
↑
189.28 m
↓
↑
189.28 m
↓
N 51.710012°
W  0.060425°		 ← 189.25 m →
35 822 m²		 N 51.710012°
W  0.057678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499835968017578 y=0.331615447998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499835968017578 × 217)
    floor (0.499835968017578 × 131072)
    floor (65514.5)     		tx = 65514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331615447998047 × 217)
    floor (0.331615447998047 × 131072)
    floor (43465.5)     		ty = 43465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65514 / 43465 ti = "17/65514/43465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65514/43465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65514 ÷ 217
    65514 ÷ 131072     		x = 0.499832153320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43465 ÷ 217
    43465 ÷ 131072     		y = 0.331611633300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499832153320312 × 2 - 1) × π
    -0.000335693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00105461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331611633300781 × 2 - 1) × π
    0.336776733398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.05801531151426
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00105461} λ = -0.00105461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05801531151426))-π/2
    2×atan(2.88064812293197)-π/2
    2×1.23666800115508-π/2
    2.47333600231015-1.57079632675     		φ = 0.90253968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00105461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.060425°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90253968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.711715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65514 KachelY 43465 -0.00105461 0.90253968 -0.060425 51.711715
    Oben rechts KachelX + 1 65515 KachelY 43465 -0.00100667 0.90253968 -0.057678 51.711715
    Unten links KachelX 65514 KachelY + 1 43466 -0.00105461 0.90250997 -0.060425 51.710012
    Unten rechts KachelX + 1 65515 KachelY + 1 43466 -0.00100667 0.90250997 -0.057678 51.710012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90253968-0.90250997) × R
    2.97099999999606e-05 × 6371000     		dl = 189.282409999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90253968-0.90250997) × R
    2.97099999999606e-05 × 6371000     		dr = 189.282409999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00105461--0.00100667) × cos(0.90253968) × R
    4.794e-05 × 0.619618566040272 × 6371000     		do = 189.247459050589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00105461--0.00100667) × cos(0.90250997) × R
    4.794e-05 × 0.619641885237077 × 6371000     		du = 189.254581333529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90253968)-sin(0.90250997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619618566040272-0.619641885237077)×R²
    abs(-0.00100667--0.00105461)×2.33191968054269e-05×R²
    4.794e-05×2.33191968054269e-05×6371000²
    4.794e-05×2.33191968054269e-05×40589641000000     		ar = 35821.8891995646m²