Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65513 / 65507
↖ ↑ ↗
← N  0.079651°
W  0.063171°		 ← 305.43 m → N  0.079651°
W  0.060425°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
N  0.076904°
W  0.063171°		 ← 305.43 m →
93 285 m²		 N  0.076904°
W  0.060425°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499828338623047 y=0.499782562255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499828338623047 × 217)
    floor (0.499828338623047 × 131072)
    floor (65513.5)     		tx = 65513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499782562255859 × 217)
    floor (0.499782562255859 × 131072)
    floor (65507.5)     		ty = 65507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65513 / 65507 ti = "17/65513/65507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65513/65507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65513 ÷ 217
    65513 ÷ 131072     		x = 0.499824523925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65507 ÷ 217
    65507 ÷ 131072     		y = 0.499778747558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499824523925781 × 2 - 1) × π
    -0.0003509521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00110255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499778747558594 × 2 - 1) × π
    0.0004425048828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.00139017008898163
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00110255} λ = -0.00110255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00139017008898163))-π/2
    2×atan(1.00139113682334)-π/2
    2×0.786093248218055-π/2
    1.57218649643611-1.57079632675     		φ = 0.00139017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00110255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.063171°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00139017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.079651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65513 KachelY 65507 -0.00110255 0.00139017 -0.063171 0.079651
    Oben rechts KachelX + 1 65514 KachelY 65507 -0.00105461 0.00139017 -0.060425 0.079651
    Unten links KachelX 65513 KachelY + 1 65508 -0.00110255 0.00134223 -0.063171 0.076904
    Unten rechts KachelX + 1 65514 KachelY + 1 65508 -0.00105461 0.00134223 -0.060425 0.076904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00139017-0.00134223) × R
    4.794e-05 × 6371000     		dl = 305.42574m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00139017-0.00134223) × R
    4.794e-05 × 6371000     		dr = 305.42574m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00110255--0.00105461) × cos(0.00139017) × R
    4.794e-05 × 0.999999033713841 × 6371000     		do = 305.425444871335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00110255--0.00105461) × cos(0.00134223) × R
    4.794e-05 × 0.999999099209449 × 6371000     		du = 305.425464875379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00139017)-sin(0.00134223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999999033713841-0.999999099209449)×R²
    abs(-0.00105461--0.00110255)×6.54956076040492e-08×R²
    4.794e-05×6.54956076040492e-08×6371000²
    4.794e-05×6.54956076040492e-08×40589641000000     		ar = 93284.7955873977m²