Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65512 / 44651
↖ ↑ ↗
← N 49.648070°
W  0.065918°		 ← 197.76 m → N 49.648070°
W  0.063171°		 →
↑
197.76 m
↓
↑
197.76 m
↓
N 49.646292°
W  0.065918°		 ← 197.76 m →
39 108 m²		 N 49.646292°
W  0.063171°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499820709228516 y=0.340663909912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499820709228516 × 217)
    floor (0.499820709228516 × 131072)
    floor (65512.5)     		tx = 65512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340663909912109 × 217)
    floor (0.340663909912109 × 131072)
    floor (44651.5)     		ty = 44651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65512 / 44651 ti = "17/65512/44651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65512/44651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65512 ÷ 217
    65512 ÷ 131072     		x = 0.49981689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44651 ÷ 217
    44651 ÷ 131072     		y = 0.340660095214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49981689453125 × 2 - 1) × π
    -0.0003662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00115049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340660095214844 × 2 - 1) × π
    0.318679809570312 × 3.1415926535     		Φ = 1.00116214856487
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00115049} λ = -0.00115049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00116214856487))-π/2
    2×atan(2.72144271213737)-π/2
    2×1.21865930605562-π/2
    2.43731861211124-1.57079632675     		φ = 0.86652229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00115049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.065918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86652229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.648070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65512 KachelY 44651 -0.00115049 0.86652229 -0.065918 49.648070
    Oben rechts KachelX + 1 65513 KachelY 44651 -0.00110255 0.86652229 -0.063171 49.648070
    Unten links KachelX 65512 KachelY + 1 44652 -0.00115049 0.86649125 -0.065918 49.646292
    Unten rechts KachelX + 1 65513 KachelY + 1 44652 -0.00110255 0.86649125 -0.063171 49.646292
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86652229-0.86649125) × R
    3.10399999999822e-05 × 6371000     		dl = 197.755839999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86652229-0.86649125) × R
    3.10399999999822e-05 × 6371000     		dr = 197.755839999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00115049--0.00110255) × cos(0.86652229) × R
    4.794e-05 × 0.64748075685679 × 6371000     		do = 197.757289298745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00115049--0.00110255) × cos(0.86649125) × R
    4.794e-05 × 0.647504411563933 × 6371000     		du = 197.764514055179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86652229)-sin(0.86649125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64748075685679-0.647504411563933)×R²
    abs(-0.00110255--0.00115049)×2.36547071423843e-05×R²
    4.794e-05×2.36547071423843e-05×6371000²
    4.794e-05×2.36547071423843e-05×40589641000000     		ar = 39108.3732334554m²