Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65511 / 48551
↖ ↑ ↗
← N 42.214280°
W  0.068664°		 ← 226.16 m → N 42.214280°
W  0.065918°		 →
↑
226.23 m
↓
↑
226.23 m
↓
N 42.212245°
W  0.068664°		 ← 226.17 m →
51 167 m²		 N 42.212245°
W  0.065918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499813079833984 y=0.370418548583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499813079833984 × 217)
    floor (0.499813079833984 × 131072)
    floor (65511.5)     		tx = 65511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.370418548583984 × 217)
    floor (0.370418548583984 × 131072)
    floor (48551.5)     		ty = 48551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65511 / 48551 ti = "17/65511/48551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65511/48551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65511 ÷ 217
    65511 ÷ 131072     		x = 0.499809265136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48551 ÷ 217
    48551 ÷ 131072     		y = 0.370414733886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499809265136719 × 2 - 1) × π
    -0.0003814697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00119842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.370414733886719 × 2 - 1) × π
    0.259170532226562 × 3.1415926535     		Φ = 0.814208240046654
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00119842} λ = -0.00119842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.814208240046654))-π/2
    2×atan(2.25738765545825)-π/2
    2×1.15378724697514-π/2
    2.30757449395028-1.57079632675     		φ = 0.73677817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00119842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.068664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73677817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.214280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65511 KachelY 48551 -0.00119842 0.73677817 -0.068664 42.214280
    Oben rechts KachelX + 1 65512 KachelY 48551 -0.00115049 0.73677817 -0.065918 42.214280
    Unten links KachelX 65511 KachelY + 1 48552 -0.00119842 0.73674266 -0.068664 42.212245
    Unten rechts KachelX + 1 65512 KachelY + 1 48552 -0.00115049 0.73674266 -0.065918 42.212245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73677817-0.73674266) × R
    3.55100000000164e-05 × 6371000     		dl = 226.234210000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73677817-0.73674266) × R
    3.55100000000164e-05 × 6371000     		dr = 226.234210000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00119842--0.00115049) × cos(0.73677817) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.740637163275396 × 6371000     		do = 226.162467671216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00119842--0.00115049) × cos(0.73674266) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.740661022161943 × 6371000     		du = 226.169753269245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73677817)-sin(0.73674266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.740637163275396-0.740661022161943)×R²
    abs(-0.00115049--0.00119842)×2.38588865469902e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.38588865469902e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.38588865469902e-05×40589641000000     		ar = 51166.5113363734m²