Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65511 / 44650
↖ ↑ ↗
← N 49.649848°
W  0.068664°		 ← 197.71 m → N 49.649848°
W  0.065918°		 →
↑
197.69 m
↓
↑
197.69 m
↓
N 49.648070°
W  0.068664°		 ← 197.72 m →
39 086 m²		 N 49.648070°
W  0.065918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499813079833984 y=0.340656280517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499813079833984 × 217)
    floor (0.499813079833984 × 131072)
    floor (65511.5)     		tx = 65511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340656280517578 × 217)
    floor (0.340656280517578 × 131072)
    floor (44650.5)     		ty = 44650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65511 / 44650 ti = "17/65511/44650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65511/44650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65511 ÷ 217
    65511 ÷ 131072     		x = 0.499809265136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44650 ÷ 217
    44650 ÷ 131072     		y = 0.340652465820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499809265136719 × 2 - 1) × π
    -0.0003814697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00119842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340652465820312 × 2 - 1) × π
    0.318695068359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00121008546449
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00119842} λ = -0.00119842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00121008546449))-π/2
    2×atan(2.7215731727904)-π/2
    2×1.21867482488226-π/2
    2.43734964976452-1.57079632675     		φ = 0.86655332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00119842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.068664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86655332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.649848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65511 KachelY 44650 -0.00119842 0.86655332 -0.068664 49.649848
    Oben rechts KachelX + 1 65512 KachelY 44650 -0.00115049 0.86655332 -0.065918 49.649848
    Unten links KachelX 65511 KachelY + 1 44651 -0.00119842 0.86652229 -0.068664 49.648070
    Unten rechts KachelX + 1 65512 KachelY + 1 44651 -0.00115049 0.86652229 -0.065918 49.648070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86655332-0.86652229) × R
    3.10299999999319e-05 × 6371000     		dl = 197.692129999566m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86655332-0.86652229) × R
    3.10299999999319e-05 × 6371000     		dr = 197.692129999566m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00119842--0.00115049) × cos(0.86655332) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.647457109146831 × 6371000     		do = 197.708817187007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00119842--0.00115049) × cos(0.86652229) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.64748075685679 × 6371000     		du = 197.716038299725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86655332)-sin(0.86652229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647457109146831-0.64748075685679)×R²
    abs(-0.00115049--0.00119842)×2.3647709959107e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.3647709959107e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.3647709959107e-05×40589641000000     		ar = 39086.1909709554m²