Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65499 / 48434
↖ ↑ ↗
← N 42.451835°
W  0.101624°		 ← 225.36 m → N 42.451835°
W  0.098877°		 →
↑
225.34 m
↓
↑
225.34 m
↓
N 42.449808°
W  0.101624°		 ← 225.36 m →
50 783 m²		 N 42.449808°
W  0.098877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499721527099609 y=0.369525909423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499721527099609 × 217)
    floor (0.499721527099609 × 131072)
    floor (65499.5)     		tx = 65499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369525909423828 × 217)
    floor (0.369525909423828 × 131072)
    floor (48434.5)     		ty = 48434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65499 / 48434 ti = "17/65499/48434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65499/48434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65499 ÷ 217
    65499 ÷ 131072     		x = 0.499717712402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48434 ÷ 217
    48434 ÷ 131072     		y = 0.369522094726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499717712402344 × 2 - 1) × π
    -0.0005645751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00177367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369522094726562 × 2 - 1) × π
    0.260955810546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.8198168573022
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00177367} λ = -0.00177367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.8198168573022))-π/2
    2×atan(2.27008405014218)-π/2
    2×1.1558603076358-π/2
    2.3117206152716-1.57079632675     		φ = 0.74092429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00177367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.101624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74092429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.451835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65499 KachelY 48434 -0.00177367 0.74092429 -0.101624 42.451835
    Oben rechts KachelX + 1 65500 KachelY 48434 -0.00172573 0.74092429 -0.098877 42.451835
    Unten links KachelX 65499 KachelY + 1 48435 -0.00177367 0.74088892 -0.101624 42.449808
    Unten rechts KachelX + 1 65500 KachelY + 1 48435 -0.00172573 0.74088892 -0.098877 42.449808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74092429-0.74088892) × R
    3.53700000000901e-05 × 6371000     		dl = 225.342270000574m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74092429-0.74088892) × R
    3.53700000000901e-05 × 6371000     		dr = 225.342270000574m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00177367--0.00172573) × cos(0.74092429) × R
    4.794e-05 × 0.737845005803234 × 6371000     		do = 225.356856902757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00177367--0.00172573) × cos(0.74088892) × R
    4.794e-05 × 0.737868879037053 × 6371000     		du = 225.364148402862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74092429)-sin(0.74088892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737845005803234-0.737868879037053)×R²
    abs(-0.00172573--0.00177367)×2.38732338182501e-05×R²
    4.794e-05×2.38732338182501e-05×6371000²
    4.794e-05×2.38732338182501e-05×40589641000000     		ar = 50783.2472414787m²