Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65499 / 43821
↖ ↑ ↗
← N 51.101797°
W  0.101624°		 ← 191.79 m → N 51.101797°
W  0.098877°		 →
↑
191.83 m
↓
↑
191.83 m
↓
N 51.100072°
W  0.101624°		 ← 191.80 m →
36 792 m²		 N 51.100072°
W  0.098877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499721527099609 y=0.334331512451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499721527099609 × 217)
    floor (0.499721527099609 × 131072)
    floor (65499.5)     		tx = 65499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334331512451172 × 217)
    floor (0.334331512451172 × 131072)
    floor (43821.5)     		ty = 43821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65499 / 43821 ti = "17/65499/43821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65499/43821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65499 ÷ 217
    65499 ÷ 131072     		x = 0.499717712402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43821 ÷ 217
    43821 ÷ 131072     		y = 0.334327697753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499717712402344 × 2 - 1) × π
    -0.0005645751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00177367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334327697753906 × 2 - 1) × π
    0.331344604492188 × 3.1415926535     		Φ = 1.04094977524952
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00177367} λ = -0.00177367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04094977524952))-π/2
    2×atan(2.83190541113158)-π/2
    2×1.23134547158302-π/2
    2.46269094316605-1.57079632675     		φ = 0.89189462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00177367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.101624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89189462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.101797°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65499 KachelY 43821 -0.00177367 0.89189462 -0.101624 51.101797
    Oben rechts KachelX + 1 65500 KachelY 43821 -0.00172573 0.89189462 -0.098877 51.101797
    Unten links KachelX 65499 KachelY + 1 43822 -0.00177367 0.89186451 -0.101624 51.100072
    Unten rechts KachelX + 1 65500 KachelY + 1 43822 -0.00172573 0.89186451 -0.098877 51.100072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89189462-0.89186451) × R
    3.01099999999721e-05 × 6371000     		dl = 191.830809999822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89189462-0.89186451) × R
    3.01099999999721e-05 × 6371000     		dr = 191.830809999822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00177367--0.00172573) × cos(0.89189462) × R
    4.794e-05 × 0.627938642116566 × 6371000     		do = 191.788624443047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00177367--0.00172573) × cos(0.89186451) × R
    4.794e-05 × 0.62796207532629 × 6371000     		du = 191.795781548468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89189462)-sin(0.89186451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627938642116566-0.62796207532629)×R²
    abs(-0.00172573--0.00177367)×2.34332097237555e-05×R²
    4.794e-05×2.34332097237555e-05×6371000²
    4.794e-05×2.34332097237555e-05×40589641000000     		ar = 36791.6536551605m²