Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65498 / 48438
↖ ↑ ↗
← N 42.443728°
W  0.104370°		 ← 225.34 m → N 42.443728°
W  0.101624°		 →
↑
225.41 m
↓
↑
225.41 m
↓
N 42.441701°
W  0.104370°		 ← 225.35 m →
50 794 m²		 N 42.441701°
W  0.101624°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499713897705078 y=0.369556427001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499713897705078 × 217)
    floor (0.499713897705078 × 131072)
    floor (65498.5)     		tx = 65498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369556427001953 × 217)
    floor (0.369556427001953 × 131072)
    floor (48438.5)     		ty = 48438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65498 / 48438 ti = "17/65498/48438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65498/48438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65498 ÷ 217
    65498 ÷ 131072     		x = 0.499710083007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48438 ÷ 217
    48438 ÷ 131072     		y = 0.369552612304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499710083007812 × 2 - 1) × π
    -0.000579833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00182160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369552612304688 × 2 - 1) × π
    0.260894775390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.81962510970372
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00182160} λ = -0.00182160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.81962510970372))-π/2
    2×atan(2.2696488087068)-π/2
    2×1.15578956305406-π/2
    2.31157912610812-1.57079632675     		φ = 0.74078280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00182160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.104370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74078280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.443728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65498 KachelY 48438 -0.00182160 0.74078280 -0.104370 42.443728
    Oben rechts KachelX + 1 65499 KachelY 48438 -0.00177367 0.74078280 -0.101624 42.443728
    Unten links KachelX 65498 KachelY + 1 48439 -0.00182160 0.74074742 -0.104370 42.441701
    Unten rechts KachelX + 1 65499 KachelY + 1 48439 -0.00177367 0.74074742 -0.101624 42.441701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74078280-0.74074742) × R
    3.53799999999183e-05 × 6371000     		dl = 225.405979999479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74078280-0.74074742) × R
    3.53799999999183e-05 × 6371000     		dr = 225.405979999479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00182160--0.00177367) × cos(0.74078280) × R
    4.79300000000001e-05 × 0.737940499948438 × 6371000     		do = 225.33900908347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00182160--0.00177367) × cos(0.74074742) × R
    4.79300000000001e-05 × 0.737964376237808 × 6371000     		du = 225.346299995661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74078280)-sin(0.74074742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737940499948438-0.737964376237808)×R²
    abs(-0.00177367--0.00182160)×2.38762893699507e-05×R²
    4.79300000000001e-05×2.38762893699507e-05×6371000²
    4.79300000000001e-05×2.38762893699507e-05×40589641000000     		ar = 50793.5818874553m²