Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65497 / 48435
↖ ↑ ↗
← N 42.449808°
W  0.107117°		 ← 225.36 m → N 42.449808°
W  0.104370°		 →
↑
225.34 m
↓
↑
225.34 m
↓
N 42.447782°
W  0.107117°		 ← 225.37 m →
50 785 m²		 N 42.447782°
W  0.104370°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499706268310547 y=0.369533538818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499706268310547 × 217)
    floor (0.499706268310547 × 131072)
    floor (65497.5)     		tx = 65497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369533538818359 × 217)
    floor (0.369533538818359 × 131072)
    floor (48435.5)     		ty = 48435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65497 / 48435 ti = "17/65497/48435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65497/48435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65497 ÷ 217
    65497 ÷ 131072     		x = 0.499702453613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48435 ÷ 217
    48435 ÷ 131072     		y = 0.369529724121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499702453613281 × 2 - 1) × π
    -0.0005950927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00186954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369529724121094 × 2 - 1) × π
    0.260940551757812 × 3.1415926535     		Φ = 0.81976892040258
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00186954} λ = -0.00186954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.81976892040258))-π/2
    2×atan(2.26997523195916)-π/2
    2×1.15584262234868-π/2
    2.31168524469736-1.57079632675     		φ = 0.74088892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00186954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.107117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74088892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.449808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65497 KachelY 48435 -0.00186954 0.74088892 -0.107117 42.449808
    Oben rechts KachelX + 1 65498 KachelY 48435 -0.00182160 0.74088892 -0.104370 42.449808
    Unten links KachelX 65497 KachelY + 1 48436 -0.00186954 0.74085355 -0.107117 42.447782
    Unten rechts KachelX + 1 65498 KachelY + 1 48436 -0.00182160 0.74085355 -0.104370 42.447782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74088892-0.74085355) × R
    3.5369999999979e-05 × 6371000     		dl = 225.342269999866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74088892-0.74085355) × R
    3.5369999999979e-05 × 6371000     		dr = 225.342269999866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00186954--0.00182160) × cos(0.74088892) × R
    4.794e-05 × 0.737868879037053 × 6371000     		do = 225.364148402862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00186954--0.00182160) × cos(0.74085355) × R
    4.794e-05 × 0.73789275134777 × 6371000     		du = 225.371439621029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74088892)-sin(0.74085355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737868879037053-0.73789275134777)×R²
    abs(-0.00182160--0.00186954)×2.3872310716988e-05×R²
    4.794e-05×2.3872310716988e-05×6371000²
    4.794e-05×2.3872310716988e-05×40589641000000     		ar = 50784.8902927892m²