Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65496 / 44632
↖ ↑ ↗
← N 49.681847°
W  0.109864°		 ← 197.62 m → N 49.681847°
W  0.107117°		 →
↑
197.63 m
↓
↑
197.63 m
↓
N 49.680070°
W  0.109864°		 ← 197.63 m →
39 056 m²		 N 49.680070°
W  0.107117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499698638916016 y=0.340518951416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499698638916016 × 217)
    floor (0.499698638916016 × 131072)
    floor (65496.5)     		tx = 65496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340518951416016 × 217)
    floor (0.340518951416016 × 131072)
    floor (44632.5)     		ty = 44632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65496 / 44632 ti = "17/65496/44632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65496/44632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65496 ÷ 217
    65496 ÷ 131072     		x = 0.49969482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44632 ÷ 217
    44632 ÷ 131072     		y = 0.34051513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49969482421875 × 2 - 1) × π
    -0.0006103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00191748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34051513671875 × 2 - 1) × π
    0.3189697265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.00207294965765
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00191748} λ = -0.00191748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00207294965765))-π/2
    2×atan(2.72392253427445)-π/2
    2×1.21895406682133-π/2
    2.43790813364265-1.57079632675     		φ = 0.86711181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00191748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.109864°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86711181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.681847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65496 KachelY 44632 -0.00191748 0.86711181 -0.109864 49.681847
    Oben rechts KachelX + 1 65497 KachelY 44632 -0.00186954 0.86711181 -0.107117 49.681847
    Unten links KachelX 65496 KachelY + 1 44633 -0.00191748 0.86708079 -0.109864 49.680070
    Unten rechts KachelX + 1 65497 KachelY + 1 44633 -0.00186954 0.86708079 -0.107117 49.680070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86711181-0.86708079) × R
    3.10199999999927e-05 × 6371000     		dl = 197.628419999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86711181-0.86708079) × R
    3.10199999999927e-05 × 6371000     		dr = 197.628419999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00191748--0.00186954) × cos(0.86711181) × R
    4.794e-05 × 0.647031381909497 × 6371000     		do = 197.620038622931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00191748--0.00186954) × cos(0.86708079) × R
    4.794e-05 × 0.647055033211936 × 6371000     		du = 197.62726233948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86711181)-sin(0.86708079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647031381909497-0.647055033211936)×R²
    abs(-0.00186954--0.00191748)×2.36513024384211e-05×R²
    4.794e-05×2.36513024384211e-05×6371000²
    4.794e-05×2.36513024384211e-05×40589641000000     		ar = 39056.0498025495m²