Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65495 / 65814
↖ ↑ ↗
← S  0.763527°
W  0.112610°		 ← 305.33 m → S  0.763527°
W  0.109864°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.766274°
W  0.112610°		 ← 305.33 m →
93 257 m²		 S  0.766274°
W  0.109864°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499691009521484 y=0.502124786376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499691009521484 × 217)
    floor (0.499691009521484 × 131072)
    floor (65495.5)     		tx = 65495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502124786376953 × 217)
    floor (0.502124786376953 × 131072)
    floor (65814.5)     		ty = 65814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65495 / 65814 ti = "17/65495/65814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65495/65814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65495 ÷ 217
    65495 ÷ 131072     		x = 0.499687194824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65814 ÷ 217
    65814 ÷ 131072     		y = 0.502120971679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499687194824219 × 2 - 1) × π
    -0.0006256103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00196541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502120971679688 × 2 - 1) × π
    -0.004241943359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0133264580943756
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00196541} λ = -0.00196541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0133264580943756))-π/2
    2×atan(0.986761946008047)-π/2
    2×0.77873513156696-π/2
    1.55747026313392-1.57079632675     		φ = -0.01332606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00196541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.112610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01332606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.763527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65495 KachelY 65814 -0.00196541 -0.01332606 -0.112610 -0.763527
    Oben rechts KachelX + 1 65496 KachelY 65814 -0.00191748 -0.01332606 -0.109864 -0.763527
    Unten links KachelX 65495 KachelY + 1 65815 -0.00196541 -0.01337400 -0.112610 -0.766274
    Unten rechts KachelX + 1 65496 KachelY + 1 65815 -0.00191748 -0.01337400 -0.109864 -0.766274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01332606--0.01337400) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01332606--0.01337400) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00196541--0.00191748) × cos(-0.01332606) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.999911209376432 × 6371000     		do = 305.334916714941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00196541--0.00191748) × cos(-0.01337400) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.999910569395004 × 6371000     		du = 305.334721288913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01332606)-sin(-0.01337400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999911209376432-0.999910569395004)×R²
    abs(-0.00191748--0.00196541)×6.39981427741354e-07×R²
    4.79299999999998e-05×6.39981427741354e-07×6371000²
    4.79299999999998e-05×6.39981427741354e-07×40589641000000     		ar = 93257.1130592908m²