Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65489 / 43222
↖ ↑ ↗
← N 52.123372°
W  0.129089°		 ← 187.48 m → N 52.123372°
W  0.126343°		 →
↑
187.50 m
↓
↑
187.50 m
↓
N 52.121685°
W  0.129089°		 ← 187.49 m →
35 153 m²		 N 52.121685°
W  0.126343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499645233154297 y=0.329761505126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499645233154297 × 217)
    floor (0.499645233154297 × 131072)
    floor (65489.5)     		tx = 65489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329761505126953 × 217)
    floor (0.329761505126953 × 131072)
    floor (43222.5)     		ty = 43222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65489 / 43222 ti = "17/65489/43222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65489/43222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65489 ÷ 217
    65489 ÷ 131072     		x = 0.499641418457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43222 ÷ 217
    43222 ÷ 131072     		y = 0.329757690429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499641418457031 × 2 - 1) × π
    -0.0007171630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00225303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329757690429688 × 2 - 1) × π
    0.340484619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.06966397812193
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00225303} λ = -0.00225303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06966397812193))-π/2
    2×atan(2.91440003325248)-π/2
    2×1.24026038735303-π/2
    2.48052077470606-1.57079632675     		φ = 0.90972445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00225303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.129089°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90972445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.123372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65489 KachelY 43222 -0.00225303 0.90972445 -0.129089 52.123372
    Oben rechts KachelX + 1 65490 KachelY 43222 -0.00220510 0.90972445 -0.126343 52.123372
    Unten links KachelX 65489 KachelY + 1 43223 -0.00225303 0.90969502 -0.129089 52.121685
    Unten rechts KachelX + 1 65490 KachelY + 1 43223 -0.00220510 0.90969502 -0.126343 52.121685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90972445-0.90969502) × R
    2.9429999999997e-05 × 6371000     		dl = 187.498529999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90972445-0.90969502) × R
    2.9429999999997e-05 × 6371000     		dr = 187.498529999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00225303--0.00220510) × cos(0.90972445) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.613963273941347 × 6371000     		do = 187.481071676175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00225303--0.00220510) × cos(0.90969502) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.613986503792504 × 6371000     		du = 187.488165190681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90972445)-sin(0.90969502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613963273941347-0.613986503792504)×R²
    abs(-0.00220510--0.00225303)×2.32298511571027e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.32298511571027e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.32298511571027e-05×40589641000000     		ar = 35153.0903564836m²