Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65481 / 48460
↖ ↑ ↗
← N 42.399122°
W  0.151062°		 ← 225.55 m → N 42.399122°
W  0.148315°		 →
↑
225.53 m
↓
↑
225.53 m
↓
N 42.397094°
W  0.151062°		 ← 225.55 m →
50 869 m²		 N 42.397094°
W  0.148315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499584197998047 y=0.369724273681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499584197998047 × 217)
    floor (0.499584197998047 × 131072)
    floor (65481.5)     		tx = 65481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369724273681641 × 217)
    floor (0.369724273681641 × 131072)
    floor (48460.5)     		ty = 48460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65481 / 48460 ti = "17/65481/48460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65481/48460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65481 ÷ 217
    65481 ÷ 131072     		x = 0.499580383300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48460 ÷ 217
    48460 ÷ 131072     		y = 0.369720458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499580383300781 × 2 - 1) × π
    -0.0008392333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00263653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369720458984375 × 2 - 1) × π
    0.26055908203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.818570497912079
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00263653} λ = -0.00263653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.818570497912079))-π/2
    2×atan(2.26725647202522)-π/2
    2×1.15540030421123-π/2
    2.31080060842247-1.57079632675     		φ = 0.74000428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00263653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.151062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74000428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.399122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65481 KachelY 48460 -0.00263653 0.74000428 -0.151062 42.399122
    Oben rechts KachelX + 1 65482 KachelY 48460 -0.00258859 0.74000428 -0.148315 42.399122
    Unten links KachelX 65481 KachelY + 1 48461 -0.00263653 0.73996888 -0.151062 42.397094
    Unten rechts KachelX + 1 65482 KachelY + 1 48461 -0.00258859 0.73996888 -0.148315 42.397094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74000428-0.73996888) × R
    3.53999999999077e-05 × 6371000     		dl = 225.533399999412m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74000428-0.73996888) × R
    3.53999999999077e-05 × 6371000     		dr = 225.533399999412m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00263653--0.00258859) × cos(0.74000428) × R
    4.79400000000002e-05 × 0.738465672770562 × 6371000     		do = 225.546424570548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00263653--0.00258859) × cos(0.73996888) × R
    4.79400000000002e-05 × 0.738489542211808 × 6371000     		du = 225.553714912304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74000428)-sin(0.73996888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738465672770562-0.738489542211808)×R²
    abs(-0.00258859--0.00263653)×2.38694412454388e-05×R²
    4.79400000000002e-05×2.38694412454388e-05×6371000²
    4.79400000000002e-05×2.38694412454388e-05×40589641000000     		ar = 50869.0741042818m²