Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65478 / 48474
↖ ↑ ↗
← N 42.370720°
W  0.159302°		 ← 225.65 m → N 42.370720°
W  0.156555°		 →
↑
225.60 m
↓
↑
225.60 m
↓
N 42.368691°
W  0.159302°		 ← 225.66 m →
50 906 m²		 N 42.368691°
W  0.156555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499561309814453 y=0.369831085205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499561309814453 × 217)
    floor (0.499561309814453 × 131072)
    floor (65478.5)     		tx = 65478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369831085205078 × 217)
    floor (0.369831085205078 × 131072)
    floor (48474.5)     		ty = 48474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65478 / 48474 ti = "17/65478/48474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65478/48474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65478 ÷ 217
    65478 ÷ 131072     		x = 0.499557495117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48474 ÷ 217
    48474 ÷ 131072     		y = 0.369827270507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499557495117188 × 2 - 1) × π
    -0.000885009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00278034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369827270507812 × 2 - 1) × π
    0.260345458984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.817899381317398
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00278034} λ = -0.00278034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.817899381317398))-π/2
    2×atan(2.26573538905155)-π/2
    2×1.15515244986167-π/2
    2.31030489972334-1.57079632675     		φ = 0.73950857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00278034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.159302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73950857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.370720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65478 KachelY 48474 -0.00278034 0.73950857 -0.159302 42.370720
    Oben rechts KachelX + 1 65479 KachelY 48474 -0.00273240 0.73950857 -0.156555 42.370720
    Unten links KachelX 65478 KachelY + 1 48475 -0.00278034 0.73947316 -0.159302 42.368691
    Unten rechts KachelX + 1 65479 KachelY + 1 48475 -0.00273240 0.73947316 -0.156555 42.368691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73950857-0.73947316) × R
    3.5410000000069e-05 × 6371000     		dl = 225.59711000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73950857-0.73947316) × R
    3.5410000000069e-05 × 6371000     		dr = 225.59711000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00278034--0.00273240) × cos(0.73950857) × R
    4.79400000000002e-05 × 0.738799834853313 × 6371000     		do = 225.648486271952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00278034--0.00273240) × cos(0.73947316) × R
    4.79400000000002e-05 × 0.73882369807171 × 6371000     		du = 225.65577471309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73950857)-sin(0.73947316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738799834853313-0.73882369807171)×R²
    abs(-0.00273240--0.00278034)×2.386321839698e-05×R²
    4.79400000000002e-05×2.386321839698e-05×6371000²
    4.79400000000002e-05×2.386321839698e-05×40589641000000     		ar = 50906.4685097575m²