Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65472 / 46528
↖ ↑ ↗
← N 46.195042°
W  0.175781°		 ← 211.42 m → N 46.195042°
W  0.173034°		 →
↑
211.39 m
↓
↑
211.39 m
↓
N 46.193141°
W  0.175781°		 ← 211.42 m →
44 692 m²		 N 46.193141°
W  0.173034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499515533447266 y=0.354984283447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499515533447266 × 217)
    floor (0.499515533447266 × 131072)
    floor (65472.5)     		tx = 65472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.354984283447266 × 217)
    floor (0.354984283447266 × 131072)
    floor (46528.5)     		ty = 46528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65472 / 46528 ti = "17/65472/46528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65472/46528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65472 ÷ 217
    65472 ÷ 131072     		x = 0.49951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46528 ÷ 217
    46528 ÷ 131072     		y = 0.35498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49951171875 × 2 - 1) × π
    -0.0009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00306796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35498046875 × 2 - 1) × π
    0.2900390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.911184587978027
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00306796} λ = -0.00306796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.911184587978027))-π/2
    2×atan(2.48726717574104)-π/2
    2×1.18852595483521-π/2
    2.37705190967041-1.57079632675     		φ = 0.80625558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00306796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80625558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.195042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65472 KachelY 46528 -0.00306796 0.80625558 -0.175781 46.195042
    Oben rechts KachelX + 1 65473 KachelY 46528 -0.00302002 0.80625558 -0.173034 46.195042
    Unten links KachelX 65472 KachelY + 1 46529 -0.00306796 0.80622240 -0.175781 46.193141
    Unten rechts KachelX + 1 65473 KachelY + 1 46529 -0.00302002 0.80622240 -0.173034 46.193141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80625558-0.80622240) × R
    3.3179999999966e-05 × 6371000     		dl = 211.389779999783m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80625558-0.80622240) × R
    3.3179999999966e-05 × 6371000     		dr = 211.389779999783m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00306796--0.00302002) × cos(0.80625558) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.692205628382587 × 6371000     		do = 211.417416280916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00306796--0.00302002) × cos(0.80622240) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.692229574018543 × 6371000     		du = 211.424729894497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80625558)-sin(0.80622240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.692205628382587-0.692229574018543)×R²
    abs(-0.00302002--0.00306796)×2.39456359555357e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39456359555357e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39456359555357e-05×40589641000000     		ar = 44692.254131344m²