Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65470 / 44118
↖ ↑ ↗
← N 50.586724°
W  0.181275°		 ← 193.92 m → N 50.586724°
W  0.178528°		 →
↑
193.93 m
↓
↑
193.93 m
↓
N 50.584980°
W  0.181275°		 ← 193.92 m →
37 608 m²		 N 50.584980°
W  0.178528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499500274658203 y=0.336597442626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499500274658203 × 217)
    floor (0.499500274658203 × 131072)
    floor (65470.5)     		tx = 65470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336597442626953 × 217)
    floor (0.336597442626953 × 131072)
    floor (44118.5)     		ty = 44118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65470 / 44118 ti = "17/65470/44118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65470/44118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65470 ÷ 217
    65470 ÷ 131072     		x = 0.499496459960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44118 ÷ 217
    44118 ÷ 131072     		y = 0.336593627929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499496459960938 × 2 - 1) × π
    -0.001007080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00316384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336593627929688 × 2 - 1) × π
    0.326812744140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.02671251606236
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00316384} λ = -0.00316384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02671251606236))-π/2
    2×atan(2.79187249551648)-π/2
    2×1.22685061273211-π/2
    2.45370122546423-1.57079632675     		φ = 0.88290490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00316384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.181275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88290490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.586724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65470 KachelY 44118 -0.00316384 0.88290490 -0.181275 50.586724
    Oben rechts KachelX + 1 65471 KachelY 44118 -0.00311590 0.88290490 -0.178528 50.586724
    Unten links KachelX 65470 KachelY + 1 44119 -0.00316384 0.88287446 -0.181275 50.584980
    Unten rechts KachelX + 1 65471 KachelY + 1 44119 -0.00311590 0.88287446 -0.178528 50.584980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88290490-0.88287446) × R
    3.04399999999649e-05 × 6371000     		dl = 193.933239999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88290490-0.88287446) × R
    3.04399999999649e-05 × 6371000     		dr = 193.933239999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00316384--0.00311590) × cos(0.88290490) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.63490953969786 × 6371000     		do = 193.917715995277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00316384--0.00311590) × cos(0.88287446) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.6349330569363 × 6371000     		du = 193.924898765231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88290490)-sin(0.88287446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63490953969786-0.6349330569363)×R²
    abs(-0.00311590--0.00316384)×2.35172384401849e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.35172384401849e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.35172384401849e-05×40589641000000     		ar = 37607.7874482196m²