Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65468 / 48484
↖ ↑ ↗
← N 42.350425°
W  0.186768°		 ← 225.72 m → N 42.350425°
W  0.184021°		 →
↑
225.72 m
↓
↑
225.72 m
↓
N 42.348395°
W  0.186768°		 ← 225.73 m →
50 952 m²		 N 42.348395°
W  0.184021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499485015869141 y=0.369907379150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499485015869141 × 217)
    floor (0.499485015869141 × 131072)
    floor (65468.5)     		tx = 65468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369907379150391 × 217)
    floor (0.369907379150391 × 131072)
    floor (48484.5)     		ty = 48484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65468 / 48484 ti = "17/65468/48484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65468/48484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65468 ÷ 217
    65468 ÷ 131072     		x = 0.499481201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48484 ÷ 217
    48484 ÷ 131072     		y = 0.369903564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499481201171875 × 2 - 1) × π
    -0.00103759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00325971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369903564453125 × 2 - 1) × π
    0.26019287109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.817420012321198
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00325971} λ = -0.00325971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.817420012321198))-π/2
    2×atan(2.26464952603777)-π/2
    2×1.15497534239172-π/2
    2.30995068478344-1.57079632675     		φ = 0.73915436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00325971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.186768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73915436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.350425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65468 KachelY 48484 -0.00325971 0.73915436 -0.186768 42.350425
    Oben rechts KachelX + 1 65469 KachelY 48484 -0.00321177 0.73915436 -0.184021 42.350425
    Unten links KachelX 65468 KachelY + 1 48485 -0.00325971 0.73911893 -0.186768 42.348395
    Unten rechts KachelX + 1 65469 KachelY + 1 48485 -0.00321177 0.73911893 -0.184021 42.348395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73915436-0.73911893) × R
    3.54300000000585e-05 × 6371000     		dl = 225.724530000373m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73915436-0.73911893) × R
    3.54300000000585e-05 × 6371000     		dr = 225.724530000373m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00325971--0.00321177) × cos(0.73915436) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.739038499449212 × 6371000     		do = 225.721380582764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00325971--0.00321177) × cos(0.73911893) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.73906236687225 × 6371000     		du = 225.728670308107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73915436)-sin(0.73911893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739038499449212-0.73906236687225)×R²
    abs(-0.00321177--0.00325971)×2.38674230376157e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38674230376157e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38674230376157e-05×40589641000000     		ar = 50951.6752833136m²