Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65464 / 48500
↖ ↑ ↗
← N 42.317940°
W  0.197754°		 ← 225.84 m → N 42.317940°
W  0.195007°		 →
↑
225.85 m
↓
↑
225.85 m
↓
N 42.315909°
W  0.197754°		 ← 225.85 m →
51 007 m²		 N 42.315909°
W  0.195007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499454498291016 y=0.370029449462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499454498291016 × 217)
    floor (0.499454498291016 × 131072)
    floor (65464.5)     		tx = 65464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.370029449462891 × 217)
    floor (0.370029449462891 × 131072)
    floor (48500.5)     		ty = 48500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65464 / 48500 ti = "17/65464/48500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65464/48500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65464 ÷ 217
    65464 ÷ 131072     		x = 0.49945068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48500 ÷ 217
    48500 ÷ 131072     		y = 0.370025634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49945068359375 × 2 - 1) × π
    -0.0010986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00345146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.370025634765625 × 2 - 1) × π
    0.25994873046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.816653021927277
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00345146} λ = -0.00345146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.816653021927277))-π/2
    2×atan(2.26291322755295)-π/2
    2×1.15469185145886-π/2
    2.30938370291773-1.57079632675     		φ = 0.73858738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00345146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.197754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73858738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.317940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65464 KachelY 48500 -0.00345146 0.73858738 -0.197754 42.317940
    Oben rechts KachelX + 1 65465 KachelY 48500 -0.00340352 0.73858738 -0.195007 42.317940
    Unten links KachelX 65464 KachelY + 1 48501 -0.00345146 0.73855193 -0.197754 42.315909
    Unten rechts KachelX + 1 65465 KachelY + 1 48501 -0.00340352 0.73855193 -0.195007 42.315909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73858738-0.73855193) × R
    3.54500000000479e-05 × 6371000     		dl = 225.851950000305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73858738-0.73855193) × R
    3.54500000000479e-05 × 6371000     		dr = 225.851950000305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00345146--0.00340352) × cos(0.73858738) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.73942033419739 × 6371000     		do = 225.838002743284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00345146--0.00340352) × cos(0.73855193) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.739444200234829 × 6371000     		du = 225.84529204543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73858738)-sin(0.73855193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73942033419739-0.739444200234829)×R²
    abs(-0.00340352--0.00345146)×2.38660374393129e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38660374393129e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38660374393129e-05×40589641000000     		ar = 51006.7764604552m²