Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65463 / 48501
↖ ↑ ↗
← N 42.315909°
W  0.200500°		 ← 225.80 m → N 42.315909°
W  0.197754°		 →
↑
225.85 m
↓
↑
225.85 m
↓
N 42.313877°
W  0.200500°		 ← 225.81 m →
50 998 m²		 N 42.313877°
W  0.197754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499446868896484 y=0.370037078857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499446868896484 × 217)
    floor (0.499446868896484 × 131072)
    floor (65463.5)     		tx = 65463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.370037078857422 × 217)
    floor (0.370037078857422 × 131072)
    floor (48501.5)     		ty = 48501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65463 / 48501 ti = "17/65463/48501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65463/48501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65463 ÷ 217
    65463 ÷ 131072     		x = 0.499443054199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48501 ÷ 217
    48501 ÷ 131072     		y = 0.370033264160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499443054199219 × 2 - 1) × π
    -0.0011138916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00349939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.370033264160156 × 2 - 1) × π
    0.259933471679688 × 3.1415926535     		Φ = 0.816605085027657
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00349939} λ = -0.00349939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.816605085027657))-π/2
    2×atan(2.2628047531087)-π/2
    2×1.15467412841365-π/2
    2.30934825682729-1.57079632675     		φ = 0.73855193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00349939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.200500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73855193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.315909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65463 KachelY 48501 -0.00349939 0.73855193 -0.200500 42.315909
    Oben rechts KachelX + 1 65464 KachelY 48501 -0.00345146 0.73855193 -0.197754 42.315909
    Unten links KachelX 65463 KachelY + 1 48502 -0.00349939 0.73851648 -0.200500 42.313877
    Unten rechts KachelX + 1 65464 KachelY + 1 48502 -0.00345146 0.73851648 -0.197754 42.313877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73855193-0.73851648) × R
    3.54499999999369e-05 × 6371000     		dl = 225.851949999598m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73855193-0.73851648) × R
    3.54499999999369e-05 × 6371000     		dr = 225.851949999598m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00349939--0.00345146) × cos(0.73855193) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.739444200234829 × 6371000     		do = 225.798182055433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00349939--0.00345146) × cos(0.73851648) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.739468065343007 × 6371000     		du = 225.805469553312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73855193)-sin(0.73851648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739444200234829-0.739468065343007)×R²
    abs(-0.00345146--0.00349939)×2.38651081778674e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.38651081778674e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.38651081778674e-05×40589641000000     		ar = 50997.7826767424m²