Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65462 / 65726
↖ ↑ ↗
← S  0.521843°
W  0.203247°		 ← 305.41 m → S  0.521843°
W  0.200500°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.524590°
W  0.203247°		 ← 305.41 m →
93 281 m²		 S  0.524590°
W  0.200500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499439239501953 y=0.501453399658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499439239501953 × 217)
    floor (0.499439239501953 × 131072)
    floor (65462.5)     		tx = 65462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501453399658203 × 217)
    floor (0.501453399658203 × 131072)
    floor (65726.5)     		ty = 65726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65462 / 65726 ti = "17/65462/65726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65462/65726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65462 ÷ 217
    65462 ÷ 131072     		x = 0.499435424804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65726 ÷ 217
    65726 ÷ 131072     		y = 0.501449584960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499435424804688 × 2 - 1) × π
    -0.001129150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00354733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501449584960938 × 2 - 1) × π
    -0.002899169921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.00910801092781067
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00354733} λ = -0.00354733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00910801092781067))-π/2
    2×atan(0.990933341362784)-π/2
    2×0.780844220895813-π/2
    1.56168844179163-1.57079632675     		φ = -0.00910788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00354733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.203247°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00910788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.521843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65462 KachelY 65726 -0.00354733 -0.00910788 -0.203247 -0.521843
    Oben rechts KachelX + 1 65463 KachelY 65726 -0.00349939 -0.00910788 -0.200500 -0.521843
    Unten links KachelX 65462 KachelY + 1 65727 -0.00354733 -0.00915582 -0.203247 -0.524590
    Unten rechts KachelX + 1 65463 KachelY + 1 65727 -0.00349939 -0.00915582 -0.200500 -0.524590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00910788--0.00915582) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00910788--0.00915582) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00354733--0.00349939) × cos(-0.00910788) × R
    4.79400000000002e-05 × 0.999958523547672 × 6371000     		do = 305.413072023857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00354733--0.00349939) × cos(-0.00915582) × R
    4.79400000000002e-05 × 0.999958085772867 × 6371000     		du = 305.412938316163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00910788)-sin(-0.00915582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999958523547672-0.999958085772867)×R²
    abs(-0.00349939--0.00354733)×4.37774804518121e-07×R²
    4.79400000000002e-05×4.37774804518121e-07×6371000²
    4.79400000000002e-05×4.37774804518121e-07×40589641000000     		ar = 93280.9931275404m²