Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65462 / 48487
↖ ↑ ↗
← N 42.344335°
W  0.203247°		 ← 225.74 m → N 42.344335°
W  0.200500°		 →
↑
225.72 m
↓
↑
225.72 m
↓
N 42.342305°
W  0.203247°		 ← 225.75 m →
50 957 m²		 N 42.342305°
W  0.200500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499439239501953 y=0.369930267333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499439239501953 × 217)
    floor (0.499439239501953 × 131072)
    floor (65462.5)     		tx = 65462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369930267333984 × 217)
    floor (0.369930267333984 × 131072)
    floor (48487.5)     		ty = 48487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65462 / 48487 ti = "17/65462/48487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65462/48487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65462 ÷ 217
    65462 ÷ 131072     		x = 0.499435424804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48487 ÷ 217
    48487 ÷ 131072     		y = 0.369926452636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499435424804688 × 2 - 1) × π
    -0.001129150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00354733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369926452636719 × 2 - 1) × π
    0.260147094726562 × 3.1415926535     		Φ = 0.817276201622337
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00354733} λ = -0.00354733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.817276201622337))-π/2
    2×atan(2.26432386862383)-π/2
    2×1.15492219899595-π/2
    2.3098443979919-1.57079632675     		φ = 0.73904807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00354733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.203247°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73904807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.344335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65462 KachelY 48487 -0.00354733 0.73904807 -0.203247 42.344335
    Oben rechts KachelX + 1 65463 KachelY 48487 -0.00349939 0.73904807 -0.200500 42.344335
    Unten links KachelX 65462 KachelY + 1 48488 -0.00354733 0.73901264 -0.203247 42.342305
    Unten rechts KachelX + 1 65463 KachelY + 1 48488 -0.00349939 0.73901264 -0.200500 42.342305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73904807-0.73901264) × R
    3.54299999999474e-05 × 6371000     		dl = 225.724529999665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73904807-0.73901264) × R
    3.54299999999474e-05 × 6371000     		dr = 225.724529999665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00354733--0.00349939) × cos(0.73904807) × R
    4.79400000000002e-05 × 0.739110098935093 × 6371000     		do = 225.743248908725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00354733--0.00349939) × cos(0.73901264) × R
    4.79400000000002e-05 × 0.73913396357484 × 6371000     		du = 225.750537783979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73904807)-sin(0.73901264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739110098935093-0.73913396357484)×R²
    abs(-0.00349939--0.00354733)×2.38646397462405e-05×R²
    4.79400000000002e-05×2.38646397462405e-05×6371000²
    4.79400000000002e-05×2.38646397462405e-05×40589641000000     		ar = 50956.611404796m²