Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65461 / 65725
↖ ↑ ↗
← S  0.519097°
W  0.205994°		 ← 305.41 m → S  0.519097°
W  0.203247°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.521843°
W  0.205994°		 ← 305.41 m →
93 262 m²		 S  0.521843°
W  0.203247°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499431610107422 y=0.501445770263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499431610107422 × 217)
    floor (0.499431610107422 × 131072)
    floor (65461.5)     		tx = 65461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501445770263672 × 217)
    floor (0.501445770263672 × 131072)
    floor (65725.5)     		ty = 65725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65461 / 65725 ti = "17/65461/65725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65461/65725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65461 ÷ 217
    65461 ÷ 131072     		x = 0.499427795410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65725 ÷ 217
    65725 ÷ 131072     		y = 0.501441955566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499427795410156 × 2 - 1) × π
    -0.0011444091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00359527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501441955566406 × 2 - 1) × π
    -0.0028839111328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.00906007402819061
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00359527} λ = -0.00359527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00906007402819061))-π/2
    2×atan(0.990980844773473)-π/2
    2×0.780868188356718-π/2
    1.56173637671344-1.57079632675     		φ = -0.00905995
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00359527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.205994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00905995 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.519097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65461 KachelY 65725 -0.00359527 -0.00905995 -0.205994 -0.519097
    Oben rechts KachelX + 1 65462 KachelY 65725 -0.00354733 -0.00905995 -0.203247 -0.519097
    Unten links KachelX 65461 KachelY + 1 65726 -0.00359527 -0.00910788 -0.205994 -0.521843
    Unten rechts KachelX + 1 65462 KachelY + 1 65726 -0.00354733 -0.00910788 -0.203247 -0.521843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00905995--0.00910788) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00905995--0.00910788) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00359527--0.00354733) × cos(-0.00905995) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.99995895893373 × 6371000     		do = 305.413205001963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00359527--0.00354733) × cos(-0.00910788) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999958523547672 × 6371000     		du = 305.413072023854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00905995)-sin(-0.00910788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99995895893373-0.999958523547672)×R²
    abs(-0.00354733--0.00359527)×4.35386057984211e-07×R²
    4.79399999999998e-05×4.35386057984211e-07×6371000²
    4.79399999999998e-05×4.35386057984211e-07×40589641000000     		ar = 93261.5759828241m²