Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65458 / 65778
↖ ↑ ↗
← S  0.664658°
W  0.214234°		 ← 305.41 m → S  0.664658°
W  0.211487°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.667404°
W  0.214234°		 ← 305.41 m →
93 259 m²		 S  0.667404°
W  0.211487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499408721923828 y=0.501850128173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499408721923828 × 217)
    floor (0.499408721923828 × 131072)
    floor (65458.5)     		tx = 65458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501850128173828 × 217)
    floor (0.501850128173828 × 131072)
    floor (65778.5)     		ty = 65778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65458 / 65778 ti = "17/65458/65778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65458/65778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65458 ÷ 217
    65458 ÷ 131072     		x = 0.499404907226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65778 ÷ 217
    65778 ÷ 131072     		y = 0.501846313476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499404907226562 × 2 - 1) × π
    -0.001190185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00373908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501846313476562 × 2 - 1) × π
    -0.003692626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0116007297080536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00373908} λ = -0.00373908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0116007297080536))-π/2
    2×atan(0.98846629931127)-π/2
    2×0.77959792863826-π/2
    1.55919585727652-1.57079632675     		φ = -0.01160047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00373908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.214234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01160047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.664658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65458 KachelY 65778 -0.00373908 -0.01160047 -0.214234 -0.664658
    Oben rechts KachelX + 1 65459 KachelY 65778 -0.00369114 -0.01160047 -0.211487 -0.664658
    Unten links KachelX 65458 KachelY + 1 65779 -0.00373908 -0.01164840 -0.214234 -0.667404
    Unten rechts KachelX + 1 65459 KachelY + 1 65779 -0.00369114 -0.01164840 -0.211487 -0.667404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01160047--0.01164840) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01160047--0.01164840) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00373908--0.00369114) × cos(-0.01160047) × R
    4.79400000000002e-05 × 0.999932715302442 × 6371000     		do = 305.405189521459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00373908--0.00369114) × cos(-0.01164840) × R
    4.79400000000002e-05 × 0.99993215815582 × 6371000     		du = 305.40501935454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01160047)-sin(-0.01164840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999932715302442-0.99993215815582)×R²
    abs(-0.00369114--0.00373908)×5.57146621726901e-07×R²
    4.79400000000002e-05×5.57146621726901e-07×6371000²
    4.79400000000002e-05×5.57146621726901e-07×40589641000000     		ar = 93259.1226814044m²