Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65456 / 48497
↖ ↑ ↗
← N 42.324032°
W  0.219726°		 ← 225.77 m → N 42.324032°
W  0.216980°		 →
↑
225.85 m
↓
↑
225.85 m
↓
N 42.322001°
W  0.219726°		 ← 225.78 m →
50 991 m²		 N 42.322001°
W  0.216980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499393463134766 y=0.370006561279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499393463134766 × 217)
    floor (0.499393463134766 × 131072)
    floor (65456.5)     		tx = 65456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.370006561279297 × 217)
    floor (0.370006561279297 × 131072)
    floor (48497.5)     		ty = 48497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65456 / 48497 ti = "17/65456/48497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65456/48497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65456 ÷ 217
    65456 ÷ 131072     		x = 0.4993896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48497 ÷ 217
    48497 ÷ 131072     		y = 0.370002746582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4993896484375 × 2 - 1) × π
    -0.001220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00383495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.370002746582031 × 2 - 1) × π
    0.259994506835938 × 3.1415926535     		Φ = 0.816796832626137
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00383495} λ = -0.00383495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.816796832626137))-π/2
    2×atan(2.26323868208703)-π/2
    2×1.15474501716267-π/2
    2.30949003432534-1.57079632675     		φ = 0.73869371
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00383495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.219726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73869371 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.324032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65456 KachelY 48497 -0.00383495 0.73869371 -0.219726 42.324032
    Oben rechts KachelX + 1 65457 KachelY 48497 -0.00378702 0.73869371 -0.216980 42.324032
    Unten links KachelX 65456 KachelY + 1 48498 -0.00383495 0.73865826 -0.219726 42.322001
    Unten rechts KachelX + 1 65457 KachelY + 1 48498 -0.00378702 0.73865826 -0.216980 42.322001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73869371-0.73865826) × R
    3.54499999999369e-05 × 6371000     		dl = 225.851949999598m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73869371-0.73865826) × R
    3.54499999999369e-05 × 6371000     		dr = 225.851949999598m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00383495--0.00378702) × cos(0.73869371) × R
    4.79300000000003e-05 × 0.739348743976257 × 6371000     		do = 225.769033338542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00383495--0.00378702) × cos(0.73865826) × R
    4.79300000000003e-05 × 0.739372612800776 × 6371000     		du = 225.77632197125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73869371)-sin(0.73865826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739348743976257-0.739372612800776)×R²
    abs(-0.00378702--0.00383495)×2.38688245191021e-05×R²
    4.79300000000003e-05×2.38688245191021e-05×6371000²
    4.79300000000003e-05×2.38688245191021e-05×40589641000000     		ar = 50991.1995104969m²