Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65453 / 44596
↖ ↑ ↗
← N 49.745781°
W  0.227966°		 ← 197.32 m → N 49.745781°
W  0.225220°		 →
↑
197.31 m
↓
↑
197.31 m
↓
N 49.744007°
W  0.227966°		 ← 197.33 m →
38 934 m²		 N 49.744007°
W  0.225220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499370574951172 y=0.340244293212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499370574951172 × 217)
    floor (0.499370574951172 × 131072)
    floor (65453.5)     		tx = 65453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340244293212891 × 217)
    floor (0.340244293212891 × 131072)
    floor (44596.5)     		ty = 44596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65453 / 44596 ti = "17/65453/44596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65453/44596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65453 ÷ 217
    65453 ÷ 131072     		x = 0.499366760253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44596 ÷ 217
    44596 ÷ 131072     		y = 0.340240478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499366760253906 × 2 - 1) × π
    -0.0012664794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00397876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340240478515625 × 2 - 1) × π
    0.31951904296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.00379867804398
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00397876} λ = -0.00397876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00379867804398))-π/2
    2×atan(2.72862734315748)-π/2
    2×1.21951199977291-π/2
    2.43902399954582-1.57079632675     		φ = 0.86822767
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00397876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.227966°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86822767 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.745781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65453 KachelY 44596 -0.00397876 0.86822767 -0.227966 49.745781
    Oben rechts KachelX + 1 65454 KachelY 44596 -0.00393083 0.86822767 -0.225220 49.745781
    Unten links KachelX 65453 KachelY + 1 44597 -0.00397876 0.86819670 -0.227966 49.744007
    Unten rechts KachelX + 1 65454 KachelY + 1 44597 -0.00393083 0.86819670 -0.225220 49.744007
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86822767-0.86819670) × R
    3.09699999999635e-05 × 6371000     		dl = 197.309869999768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86822767-0.86819670) × R
    3.09699999999635e-05 × 6371000     		dr = 197.309869999768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00397876--0.00393083) × cos(0.86822767) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.64618017688641 × 6371000     		do = 197.318890559793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00397876--0.00393083) × cos(0.86819670) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.646203812412615 × 6371000     		du = 197.326107952055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86822767)-sin(0.86819670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64618017688641-0.646203812412615)×R²
    abs(-0.00393083--0.00397876)×2.36355262047683e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.36355262047683e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.36355262047683e-05×40589641000000     		ar = 38933.676679318m²