Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65452 / 65775
↖ ↑ ↗
← S  0.656419°
W  0.230713°		 ← 305.41 m → S  0.656419°
W  0.227966°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.659165°
W  0.230713°		 ← 305.41 m →
93 259 m²		 S  0.659165°
W  0.227966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499362945556641 y=0.501827239990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499362945556641 × 217)
    floor (0.499362945556641 × 131072)
    floor (65452.5)     		tx = 65452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501827239990234 × 217)
    floor (0.501827239990234 × 131072)
    floor (65775.5)     		ty = 65775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65452 / 65775 ti = "17/65452/65775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65452/65775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65452 ÷ 217
    65452 ÷ 131072     		x = 0.499359130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65775 ÷ 217
    65775 ÷ 131072     		y = 0.501823425292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499359130859375 × 2 - 1) × π
    -0.00128173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00402670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501823425292969 × 2 - 1) × π
    -0.0036468505859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0114569190091934
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00402670} λ = -0.00402670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0114569190091934))-π/2
    2×atan(0.988608461562555)-π/2
    2×0.779669829209287-π/2
    1.55933965841857-1.57079632675     		φ = -0.01145667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00402670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.230713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01145667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.656419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65452 KachelY 65775 -0.00402670 -0.01145667 -0.230713 -0.656419
    Oben rechts KachelX + 1 65453 KachelY 65775 -0.00397876 -0.01145667 -0.227966 -0.656419
    Unten links KachelX 65452 KachelY + 1 65776 -0.00402670 -0.01150460 -0.230713 -0.659165
    Unten rechts KachelX + 1 65453 KachelY + 1 65776 -0.00397876 -0.01150460 -0.227966 -0.659165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01145667--0.01150460) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01145667--0.01150460) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00402670--0.00397876) × cos(-0.01145667) × R
    4.79400000000007e-05 × 0.999934373074084 × 6371000     		do = 305.405695847592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00402670--0.00397876) × cos(-0.01150460) × R
    4.79400000000007e-05 × 0.999933822819336 × 6371000     		du = 305.405527785629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01145667)-sin(-0.01150460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999934373074084-0.999933822819336)×R²
    abs(-0.00397876--0.00402670)×5.50254747655465e-07×R²
    4.79400000000007e-05×5.50254747655465e-07×6371000²
    4.79400000000007e-05×5.50254747655465e-07×40589641000000     		ar = 93259.2776155656m²