Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65452 / 44615
↖ ↑ ↗
← N 49.712049°
W  0.230713°		 ← 197.50 m → N 49.712049°
W  0.227966°		 →
↑
197.50 m
↓
↑
197.50 m
↓
N 49.710273°
W  0.230713°		 ← 197.50 m →
39 007 m²		 N 49.710273°
W  0.227966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499362945556641 y=0.340389251708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499362945556641 × 217)
    floor (0.499362945556641 × 131072)
    floor (65452.5)     		tx = 65452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340389251708984 × 217)
    floor (0.340389251708984 × 131072)
    floor (44615.5)     		ty = 44615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65452 / 44615 ti = "17/65452/44615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65452/44615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65452 ÷ 217
    65452 ÷ 131072     		x = 0.499359130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44615 ÷ 217
    44615 ÷ 131072     		y = 0.340385437011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499359130859375 × 2 - 1) × π
    -0.00128173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00402670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340385437011719 × 2 - 1) × π
    0.319229125976562 × 3.1415926535     		Φ = 1.00288787695119
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00402670} λ = -0.00402670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00288787695119))-π/2
    2×atan(2.72614323782619)-π/2
    2×1.21921762668631-π/2
    2.43843525337262-1.57079632675     		φ = 0.86763893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00402670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.230713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86763893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.712049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65452 KachelY 44615 -0.00402670 0.86763893 -0.230713 49.712049
    Oben rechts KachelX + 1 65453 KachelY 44615 -0.00397876 0.86763893 -0.227966 49.712049
    Unten links KachelX 65452 KachelY + 1 44616 -0.00402670 0.86760793 -0.230713 49.710273
    Unten rechts KachelX + 1 65453 KachelY + 1 44616 -0.00397876 0.86760793 -0.227966 49.710273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86763893-0.86760793) × R
    3.10000000000032e-05 × 6371000     		dl = 197.501000000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86763893-0.86760793) × R
    3.10000000000032e-05 × 6371000     		dr = 197.501000000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00402670--0.00397876) × cos(0.86763893) × R
    4.79400000000007e-05 × 0.646629382345824 × 6371000     		do = 197.497257608719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00402670--0.00397876) × cos(0.86760793) × R
    4.79400000000007e-05 × 0.646653028969264 × 6371000     		du = 197.504479896182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86763893)-sin(0.86760793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646629382345824-0.646653028969264)×R²
    abs(-0.00397876--0.00402670)×2.36466234398991e-05×R²
    4.79400000000007e-05×2.36466234398991e-05×6371000²
    4.79400000000007e-05×2.36466234398991e-05×40589641000000     		ar = 39006.6190826778m²