Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65450 / 43808
↖ ↑ ↗
← N 51.124213°
W  0.236206°		 ← 191.66 m → N 51.124213°
W  0.233460°		 →
↑
191.70 m
↓
↑
191.70 m
↓
N 51.122489°
W  0.236206°		 ← 191.66 m →
36 742 m²		 N 51.122489°
W  0.233460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499347686767578 y=0.334232330322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499347686767578 × 217)
    floor (0.499347686767578 × 131072)
    floor (65450.5)     		tx = 65450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334232330322266 × 217)
    floor (0.334232330322266 × 131072)
    floor (43808.5)     		ty = 43808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65450 / 43808 ti = "17/65450/43808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65450/43808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65450 ÷ 217
    65450 ÷ 131072     		x = 0.499343872070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43808 ÷ 217
    43808 ÷ 131072     		y = 0.334228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499343872070312 × 2 - 1) × π
    -0.001312255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00412257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334228515625 × 2 - 1) × π
    0.33154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.04157295494458
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00412257} λ = -0.00412257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04157295494458))-π/2
    2×atan(2.83367074708576)-π/2
    2×1.23154108344519-π/2
    2.46308216689038-1.57079632675     		φ = 0.89228584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00412257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.236206°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89228584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.124213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65450 KachelY 43808 -0.00412257 0.89228584 -0.236206 51.124213
    Oben rechts KachelX + 1 65451 KachelY 43808 -0.00407464 0.89228584 -0.233460 51.124213
    Unten links KachelX 65450 KachelY + 1 43809 -0.00412257 0.89225575 -0.236206 51.122489
    Unten rechts KachelX + 1 65451 KachelY + 1 43809 -0.00407464 0.89225575 -0.233460 51.122489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89228584-0.89225575) × R
    3.00899999999826e-05 × 6371000     		dl = 191.703389999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89228584-0.89225575) × R
    3.00899999999826e-05 × 6371000     		dr = 191.703389999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00412257--0.00407464) × cos(0.89228584) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.627634122078673 × 6371000     		do = 191.655629615211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00412257--0.00407464) × cos(0.89225575) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.627657547113838 × 6371000     		du = 191.662782731502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89228584)-sin(0.89225575))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627634122078673-0.627657547113838)×R²
    abs(-0.00407464--0.00412257)×2.34250351647258e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.34250351647258e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.34250351647258e-05×40589641000000     		ar = 36741.7195507492m²