Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65450 / 43418
↖ ↑ ↗
← N 51.791630°
W  0.236206°		 ← 188.87 m → N 51.791630°
W  0.233460°		 →
↑
188.90 m
↓
↑
188.90 m
↓
N 51.789931°
W  0.236206°		 ← 188.88 m →
35 679 m²		 N 51.789931°
W  0.233460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499347686767578 y=0.331256866455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499347686767578 × 217)
    floor (0.499347686767578 × 131072)
    floor (65450.5)     		tx = 65450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331256866455078 × 217)
    floor (0.331256866455078 × 131072)
    floor (43418.5)     		ty = 43418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65450 / 43418 ti = "17/65450/43418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65450/43418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65450 ÷ 217
    65450 ÷ 131072     		x = 0.499343872070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43418 ÷ 217
    43418 ÷ 131072     		y = 0.331253051757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499343872070312 × 2 - 1) × π
    -0.001312255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00412257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331253051757812 × 2 - 1) × π
    0.337493896484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0602683457964
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00412257} λ = -0.00412257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0602683457964))-π/2
    2×atan(2.8871456387221)-π/2
    2×1.23736539504605-π/2
    2.4747307900921-1.57079632675     		φ = 0.90393446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00412257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.236206°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90393446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.791630°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65450 KachelY 43418 -0.00412257 0.90393446 -0.236206 51.791630
    Oben rechts KachelX + 1 65451 KachelY 43418 -0.00407464 0.90393446 -0.233460 51.791630
    Unten links KachelX 65450 KachelY + 1 43419 -0.00412257 0.90390481 -0.236206 51.789931
    Unten rechts KachelX + 1 65451 KachelY + 1 43419 -0.00407464 0.90390481 -0.233460 51.789931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90393446-0.90390481) × R
    2.96499999999922e-05 × 6371000     		dl = 188.90014999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90393446-0.90390481) × R
    2.96499999999922e-05 × 6371000     		dr = 188.90014999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00412257--0.00407464) × cos(0.90393446) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.618523196581941 × 6371000     		do = 188.87349891035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00412257--0.00407464) × cos(0.90390481) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.618546494287968 × 6371000     		du = 188.880613145157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90393446)-sin(0.90390481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618523196581941-0.618546494287968)×R²
    abs(-0.00407464--0.00412257)×2.32977060269368e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.32977060269368e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.32977060269368e-05×40589641000000     		ar = 35678.9042177065m²