Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65448 / 48032
↖ ↑ ↗
← N 43.261206°
W  0.241699°		 ← 222.42 m → N 43.261206°
W  0.238953°		 →
↑
222.41 m
↓
↑
222.41 m
↓
N 43.259206°
W  0.241699°		 ← 222.43 m →
49 470 m²		 N 43.259206°
W  0.238953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499332427978516 y=0.366458892822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499332427978516 × 217)
    floor (0.499332427978516 × 131072)
    floor (65448.5)     		tx = 65448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366458892822266 × 217)
    floor (0.366458892822266 × 131072)
    floor (48032.5)     		ty = 48032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65448 / 48032 ti = "17/65448/48032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65448/48032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65448 ÷ 217
    65448 ÷ 131072     		x = 0.49932861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48032 ÷ 217
    48032 ÷ 131072     		y = 0.366455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49932861328125 × 2 - 1) × π
    -0.0013427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00421845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366455078125 × 2 - 1) × π
    0.26708984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.839087490949463
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00421845} λ = -0.00421845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.839087490949463))-π/2
    2×atan(2.31425423504499)-π/2
    2×1.16292340601956-π/2
    2.32584681203912-1.57079632675     		φ = 0.75505049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00421845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.241699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75505049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.261206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65448 KachelY 48032 -0.00421845 0.75505049 -0.241699 43.261206
    Oben rechts KachelX + 1 65449 KachelY 48032 -0.00417051 0.75505049 -0.238953 43.261206
    Unten links KachelX 65448 KachelY + 1 48033 -0.00421845 0.75501558 -0.241699 43.259206
    Unten rechts KachelX + 1 65449 KachelY + 1 48033 -0.00417051 0.75501558 -0.238953 43.259206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75505049-0.75501558) × R
    3.49099999999991e-05 × 6371000     		dl = 222.411609999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75505049-0.75501558) × R
    3.49099999999991e-05 × 6371000     		dr = 222.411609999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00421845--0.00417051) × cos(0.75505049) × R
    4.79400000000007e-05 × 0.728236942029552 × 6371000     		do = 222.422306914716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00421845--0.00417051) × cos(0.75501558) × R
    4.79400000000007e-05 × 0.728260866296841 × 6371000     		du = 222.429614001757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75505049)-sin(0.75501558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728236942029552-0.728260866296841)×R²
    abs(-0.00417051--0.00421845)×2.39242672890327e-05×R²
    4.79400000000007e-05×2.39242672890327e-05×6371000²
    4.79400000000007e-05×2.39242672890327e-05×40589641000000     		ar = 49470.1159763359m²