Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65447 / 48035
↖ ↑ ↗
← N 43.255205°
W  0.244446°		 ← 222.40 m → N 43.255205°
W  0.241699°		 →
↑
222.41 m
↓
↑
222.41 m
↓
N 43.253205°
W  0.244446°		 ← 222.41 m →
49 465 m²		 N 43.253205°
W  0.241699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499324798583984 y=0.366481781005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499324798583984 × 217)
    floor (0.499324798583984 × 131072)
    floor (65447.5)     		tx = 65447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366481781005859 × 217)
    floor (0.366481781005859 × 131072)
    floor (48035.5)     		ty = 48035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65447 / 48035 ti = "17/65447/48035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65447/48035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65447 ÷ 217
    65447 ÷ 131072     		x = 0.499320983886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48035 ÷ 217
    48035 ÷ 131072     		y = 0.366477966308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499320983886719 × 2 - 1) × π
    -0.0013580322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00426638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366477966308594 × 2 - 1) × π
    0.267044067382812 × 3.1415926535     		Φ = 0.838943680250603
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00426638} λ = -0.00426638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.838943680250603))-π/2
    2×atan(2.31392144445611)-π/2
    2×1.16287103930713-π/2
    2.32574207861425-1.57079632675     		φ = 0.75494575
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00426638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.244446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75494575 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.255205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65447 KachelY 48035 -0.00426638 0.75494575 -0.244446 43.255205
    Oben rechts KachelX + 1 65448 KachelY 48035 -0.00421845 0.75494575 -0.241699 43.255205
    Unten links KachelX 65447 KachelY + 1 48036 -0.00426638 0.75491084 -0.244446 43.253205
    Unten rechts KachelX + 1 65448 KachelY + 1 48036 -0.00421845 0.75491084 -0.241699 43.253205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75494575-0.75491084) × R
    3.49099999999991e-05 × 6371000     		dl = 222.411609999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75494575-0.75491084) × R
    3.49099999999991e-05 × 6371000     		dr = 222.411609999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00426638--0.00421845) × cos(0.75494575) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.72830871902127 × 6371000     		do = 222.397828907034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00426638--0.00421845) × cos(0.75491084) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.728332640625605 × 6371000     		du = 222.405133656694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75494575)-sin(0.75491084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72830871902127-0.728332640625605)×R²
    abs(-0.00421845--0.00426638)×2.39216043350643e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.39216043350643e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.39216043350643e-05×40589641000000     		ar = 49464.6715231381m²