Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65444 / 48028
↖ ↑ ↗
← N 43.269206°
W  0.252685°		 ← 222.35 m → N 43.269206°
W  0.249939°		 →
↑
222.35 m
↓
↑
222.35 m
↓
N 43.267206°
W  0.252685°		 ← 222.35 m →
49 439 m²		 N 43.267206°
W  0.249939°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499301910400391 y=0.366428375244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499301910400391 × 217)
    floor (0.499301910400391 × 131072)
    floor (65444.5)     		tx = 65444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366428375244141 × 217)
    floor (0.366428375244141 × 131072)
    floor (48028.5)     		ty = 48028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65444 / 48028 ti = "17/65444/48028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65444/48028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65444 ÷ 217
    65444 ÷ 131072     		x = 0.499298095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48028 ÷ 217
    48028 ÷ 131072     		y = 0.366424560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499298095703125 × 2 - 1) × π
    -0.00140380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00441019
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366424560546875 × 2 - 1) × π
    0.26715087890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.839279238547943
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00441019} λ = -0.00441019}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.839279238547943))-π/2
    2×atan(2.31469803028381)-π/2
    2×1.1629932202748-π/2
    2.3259864405496-1.57079632675     		φ = 0.75519011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00441019} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.252685°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75519011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.269206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65444 KachelY 48028 -0.00441019 0.75519011 -0.252685 43.269206
    Oben rechts KachelX + 1 65445 KachelY 48028 -0.00436226 0.75519011 -0.249939 43.269206
    Unten links KachelX 65444 KachelY + 1 48029 -0.00441019 0.75515521 -0.252685 43.267206
    Unten rechts KachelX + 1 65445 KachelY + 1 48029 -0.00436226 0.75515521 -0.249939 43.267206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75519011-0.75515521) × R
    3.49000000000599e-05 × 6371000     		dl = 222.347900000382m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75519011-0.75515521) × R
    3.49000000000599e-05 × 6371000     		dr = 222.347900000382m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00441019--0.00436226) × cos(0.75519011) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.728141249794147 × 6371000     		do = 222.346690163877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00441019--0.00436226) × cos(0.75515521) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.728165170756769 × 6371000     		du = 222.353994717583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75519011)-sin(0.75515521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728141249794147-0.728165170756769)×R²
    abs(-0.00436226--0.00441019)×2.39209626219372e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.39209626219372e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.39209626219372e-05×40589641000000     		ar = 49439.1317111027m²