Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65442 / 48091
↖ ↑ ↗
← N 43.143082°
W  0.258179°		 ← 222.85 m → N 43.143082°
W  0.255432°		 →
↑
222.79 m
↓
↑
222.79 m
↓
N 43.141078°
W  0.258179°		 ← 222.86 m →
49 651 m²		 N 43.141078°
W  0.255432°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499286651611328 y=0.366909027099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499286651611328 × 217)
    floor (0.499286651611328 × 131072)
    floor (65442.5)     		tx = 65442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366909027099609 × 217)
    floor (0.366909027099609 × 131072)
    floor (48091.5)     		ty = 48091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65442 / 48091 ti = "17/65442/48091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65442/48091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65442 ÷ 217
    65442 ÷ 131072     		x = 0.499282836914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48091 ÷ 217
    48091 ÷ 131072     		y = 0.366905212402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499282836914062 × 2 - 1) × π
    -0.001434326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00450607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366905212402344 × 2 - 1) × π
    0.266189575195312 × 3.1415926535     		Φ = 0.83625921387188
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00450607} λ = -0.00450607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.83625921387188))-π/2
    2×atan(2.30771813015507)-π/2
    2×1.16189258012189-π/2
    2.32378516024378-1.57079632675     		φ = 0.75298883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00450607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.258179°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75298883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.143082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65442 KachelY 48091 -0.00450607 0.75298883 -0.258179 43.143082
    Oben rechts KachelX + 1 65443 KachelY 48091 -0.00445813 0.75298883 -0.255432 43.143082
    Unten links KachelX 65442 KachelY + 1 48092 -0.00450607 0.75295386 -0.258179 43.141078
    Unten rechts KachelX + 1 65443 KachelY + 1 48092 -0.00445813 0.75295386 -0.255432 43.141078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75298883-0.75295386) × R
    3.49700000000785e-05 × 6371000     		dl = 222.7938700005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75298883-0.75295386) × R
    3.49700000000785e-05 × 6371000     		dr = 222.7938700005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00450607--0.00445813) × cos(0.75298883) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.729648301407709 × 6371000     		do = 222.853372397192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00450607--0.00445813) × cos(0.75295386) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.729672214238087 × 6371000     		du = 222.860675991105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75298883)-sin(0.75295386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729648301407709-0.729672214238087)×R²
    abs(-0.00445813--0.00450607)×2.39128303773928e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39128303773928e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39128303773928e-05×40589641000000     		ar = 49651.1788821337m²