Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65442 / 48089
↖ ↑ ↗
← N 43.147090°
W  0.258179°		 ← 222.84 m → N 43.147090°
W  0.255432°		 →
↑
222.86 m
↓
↑
222.86 m
↓
N 43.145086°
W  0.258179°		 ← 222.85 m →
49 662 m²		 N 43.145086°
W  0.255432°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499286651611328 y=0.366893768310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499286651611328 × 217)
    floor (0.499286651611328 × 131072)
    floor (65442.5)     		tx = 65442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366893768310547 × 217)
    floor (0.366893768310547 × 131072)
    floor (48089.5)     		ty = 48089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65442 / 48089 ti = "17/65442/48089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65442/48089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65442 ÷ 217
    65442 ÷ 131072     		x = 0.499282836914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48089 ÷ 217
    48089 ÷ 131072     		y = 0.366889953613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499282836914062 × 2 - 1) × π
    -0.001434326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00450607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366889953613281 × 2 - 1) × π
    0.266220092773438 × 3.1415926535     		Φ = 0.83635508767112
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00450607} λ = -0.00450607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.83635508767112))-π/2
    2×atan(2.30793939046615)-π/2
    2×1.1619275560526-π/2
    2.32385511210519-1.57079632675     		φ = 0.75305879
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00450607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.258179°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75305879 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.147090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65442 KachelY 48089 -0.00450607 0.75305879 -0.258179 43.147090
    Oben rechts KachelX + 1 65443 KachelY 48089 -0.00445813 0.75305879 -0.255432 43.147090
    Unten links KachelX 65442 KachelY + 1 48090 -0.00450607 0.75302381 -0.258179 43.145086
    Unten rechts KachelX + 1 65443 KachelY + 1 48090 -0.00445813 0.75302381 -0.255432 43.145086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75305879-0.75302381) × R
    3.49800000000178e-05 × 6371000     		dl = 222.857580000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75305879-0.75302381) × R
    3.49800000000178e-05 × 6371000     		dr = 222.857580000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00450607--0.00445813) × cos(0.75305879) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.729600459392648 × 6371000     		do = 222.838760214338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00450607--0.00445813) × cos(0.75302381) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.729624380846563 × 6371000     		du = 222.846066442102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75305879)-sin(0.75302381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729600459392648-0.729624380846563)×R²
    abs(-0.00445813--0.00450607)×2.39214539150545e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39214539150545e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39214539150545e-05×40589641000000     		ar = 49662.1209607955m²