Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65441 / 46243
↖ ↑ ↗
← N 46.734214°
W  0.260926°		 ← 209.33 m → N 46.734214°
W  0.258179°		 →
↑
209.35 m
↓
↑
209.35 m
↓
N 46.732331°
W  0.260926°		 ← 209.34 m →
43 825 m²		 N 46.732331°
W  0.258179°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499279022216797 y=0.352809906005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499279022216797 × 217)
    floor (0.499279022216797 × 131072)
    floor (65441.5)     		tx = 65441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352809906005859 × 217)
    floor (0.352809906005859 × 131072)
    floor (46243.5)     		ty = 46243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65441 / 46243 ti = "17/65441/46243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65441/46243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65441 ÷ 217
    65441 ÷ 131072     		x = 0.499275207519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46243 ÷ 217
    46243 ÷ 131072     		y = 0.352806091308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499275207519531 × 2 - 1) × π
    -0.0014495849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00455401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352806091308594 × 2 - 1) × π
    0.294387817382812 × 3.1415926535     		Φ = 0.924846604369743
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00455401} λ = -0.00455401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.924846604369743))-π/2
    2×atan(2.52148144645547)-π/2
    2×1.19323111291192-π/2
    2.38646222582383-1.57079632675     		φ = 0.81566590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00455401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.260926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81566590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.734214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65441 KachelY 46243 -0.00455401 0.81566590 -0.260926 46.734214
    Oben rechts KachelX + 1 65442 KachelY 46243 -0.00450607 0.81566590 -0.258179 46.734214
    Unten links KachelX 65441 KachelY + 1 46244 -0.00455401 0.81563304 -0.260926 46.732331
    Unten rechts KachelX + 1 65442 KachelY + 1 46244 -0.00450607 0.81563304 -0.258179 46.732331
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81566590-0.81563304) × R
    3.28600000000234e-05 × 6371000     		dl = 209.351060000149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81566590-0.81563304) × R
    3.28600000000234e-05 × 6371000     		dr = 209.351060000149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00455401--0.00450607) × cos(0.81566590) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.685383648951604 × 6371000     		do = 209.333808164943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00455401--0.00450607) × cos(0.81563304) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.685407576647246 × 6371000     		du = 209.341116299091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81566590)-sin(0.81563304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.685383648951604-0.685407576647246)×R²
    abs(-0.00450607--0.00455401)×2.39276956426338e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39276956426338e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39276956426338e-05×40589641000000     		ar = 43825.0196198006m²