Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65440 / 48096
↖ ↑ ↗
← N 43.133061°
W  0.263672°		 ← 222.84 m → N 43.133061°
W  0.260926°		 →
↑
222.86 m
↓
↑
222.86 m
↓
N 43.131057°
W  0.263672°		 ← 222.85 m →
49 663 m²		 N 43.131057°
W  0.260926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499271392822266 y=0.366947174072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499271392822266 × 217)
    floor (0.499271392822266 × 131072)
    floor (65440.5)     		tx = 65440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366947174072266 × 217)
    floor (0.366947174072266 × 131072)
    floor (48096.5)     		ty = 48096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65440 / 48096 ti = "17/65440/48096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65440/48096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65440 ÷ 217
    65440 ÷ 131072     		x = 0.499267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48096 ÷ 217
    48096 ÷ 131072     		y = 0.366943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499267578125 × 2 - 1) × π
    -0.00146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00460194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366943359375 × 2 - 1) × π
    0.26611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.836019529373779
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00460194} λ = -0.00460194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.836019529373779))-π/2
    2×atan(2.30716507217565)-π/2
    2×1.16180513026277-π/2
    2.32361026052554-1.57079632675     		φ = 0.75281393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00460194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.263672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75281393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.133061°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65440 KachelY 48096 -0.00460194 0.75281393 -0.263672 43.133061
    Oben rechts KachelX + 1 65441 KachelY 48096 -0.00455401 0.75281393 -0.260926 43.133061
    Unten links KachelX 65440 KachelY + 1 48097 -0.00460194 0.75277895 -0.263672 43.131057
    Unten rechts KachelX + 1 65441 KachelY + 1 48097 -0.00455401 0.75277895 -0.260926 43.131057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75281393-0.75277895) × R
    3.49800000000178e-05 × 6371000     		dl = 222.857580000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75281393-0.75277895) × R
    3.49800000000178e-05 × 6371000     		dr = 222.857580000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00460194--0.00455401) × cos(0.75281393) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.729767890820886 × 6371000     		do = 222.843404569883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00460194--0.00455401) × cos(0.75277895) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.729791806024805 × 6371000     		du = 222.8507073651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75281393)-sin(0.75277895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729767890820886-0.729791806024805)×R²
    abs(-0.00455401--0.00460194)×2.39152039196444e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.39152039196444e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.39152039196444e-05×40589641000000     		ar = 49663.1556081723m²