Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65440 / 46112
↖ ↑ ↗
← N 46.980253°
W  0.263672°		 ← 208.33 m → N 46.980253°
W  0.260926°		 →
↑
208.40 m
↓
↑
208.40 m
↓
N 46.978378°
W  0.263672°		 ← 208.34 m →
43 416 m²		 N 46.978378°
W  0.260926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499271392822266 y=0.351810455322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499271392822266 × 217)
    floor (0.499271392822266 × 131072)
    floor (65440.5)     		tx = 65440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351810455322266 × 217)
    floor (0.351810455322266 × 131072)
    floor (46112.5)     		ty = 46112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65440 / 46112 ti = "17/65440/46112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65440/46112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65440 ÷ 217
    65440 ÷ 131072     		x = 0.499267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46112 ÷ 217
    46112 ÷ 131072     		y = 0.351806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499267578125 × 2 - 1) × π
    -0.00146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00460194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351806640625 × 2 - 1) × π
    0.29638671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.931126338219971
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00460194} λ = -0.00460194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.931126338219971))-π/2
    2×atan(2.5373655004643)-π/2
    2×1.19537820689656-π/2
    2.39075641379313-1.57079632675     		φ = 0.81996009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00460194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.263672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81996009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.980253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65440 KachelY 46112 -0.00460194 0.81996009 -0.263672 46.980253
    Oben rechts KachelX + 1 65441 KachelY 46112 -0.00455401 0.81996009 -0.260926 46.980253
    Unten links KachelX 65440 KachelY + 1 46113 -0.00460194 0.81992738 -0.263672 46.978378
    Unten rechts KachelX + 1 65441 KachelY + 1 46113 -0.00455401 0.81992738 -0.260926 46.978378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81996009-0.81992738) × R
    3.27100000000469e-05 × 6371000     		dl = 208.395410000299m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81996009-0.81992738) × R
    3.27100000000469e-05 × 6371000     		dr = 208.395410000299m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00460194--0.00455401) × cos(0.81996009) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.682250386774346 × 6371000     		do = 208.333363073699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00460194--0.00455401) × cos(0.81992738) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.682274301298819 × 6371000     		du = 208.340665661438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81996009)-sin(0.81992738))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682250386774346-0.682274301298819)×R²
    abs(-0.00455401--0.00460194)×2.39145244723682e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.39145244723682e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.39145244723682e-05×40589641000000     		ar = 43416.4775311281m²