Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65438 / 48030
↖ ↑ ↗
← N 43.265206°
W  0.269165°		 ← 222.41 m → N 43.265206°
W  0.266418°		 →
↑
222.41 m
↓
↑
222.41 m
↓
N 43.263206°
W  0.269165°		 ← 222.42 m →
49 467 m²		 N 43.263206°
W  0.266418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499256134033203 y=0.366443634033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499256134033203 × 217)
    floor (0.499256134033203 × 131072)
    floor (65438.5)     		tx = 65438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366443634033203 × 217)
    floor (0.366443634033203 × 131072)
    floor (48030.5)     		ty = 48030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65438 / 48030 ti = "17/65438/48030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65438/48030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65438 ÷ 217
    65438 ÷ 131072     		x = 0.499252319335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48030 ÷ 217
    48030 ÷ 131072     		y = 0.366439819335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499252319335938 × 2 - 1) × π
    -0.001495361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00469782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366439819335938 × 2 - 1) × π
    0.267120361328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.839183364748703
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00469782} λ = -0.00469782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.839183364748703))-π/2
    2×atan(2.31447612202732)-π/2
    2×1.16295831429405-π/2
    2.3259166285881-1.57079632675     		φ = 0.75512030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00469782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.269165°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75512030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.265206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65438 KachelY 48030 -0.00469782 0.75512030 -0.269165 43.265206
    Oben rechts KachelX + 1 65439 KachelY 48030 -0.00464988 0.75512030 -0.266418 43.265206
    Unten links KachelX 65438 KachelY + 1 48031 -0.00469782 0.75508539 -0.269165 43.263206
    Unten rechts KachelX + 1 65439 KachelY + 1 48031 -0.00464988 0.75508539 -0.266418 43.263206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75512030-0.75508539) × R
    3.49099999999991e-05 × 6371000     		dl = 222.411609999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75512030-0.75508539) × R
    3.49099999999991e-05 × 6371000     		dr = 222.411609999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00469782--0.00464988) × cos(0.75512030) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.728189097686241 × 6371000     		do = 222.407694020752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00469782--0.00464988) × cos(0.75508539) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.728213023728263 × 6371000     		du = 222.415001649841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75512030)-sin(0.75508539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728189097686241-0.728213023728263)×R²
    abs(-0.00464988--0.00469782)×2.3926042022171e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.3926042022171e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.3926042022171e-05×40589641000000     		ar = 49466.8659594985m²