Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65435 / 43224
↖ ↑ ↗
← N 52.119999°
W  0.277405°		 ← 187.53 m → N 52.119999°
W  0.274658°		 →
↑
187.50 m
↓
↑
187.50 m
↓
N 52.118312°
W  0.277405°		 ← 187.54 m →
35 163 m²		 N 52.118312°
W  0.274658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65435 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499233245849609 y=0.329776763916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499233245849609 × 217)
    floor (0.499233245849609 × 131072)
    floor (65435.5)     		tx = 65435
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329776763916016 × 217)
    floor (0.329776763916016 × 131072)
    floor (43224.5)     		ty = 43224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65435 / 43224 ti = "17/65435/43224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65435/43224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65435 ÷ 217
    65435 ÷ 131072     		x = 0.499229431152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43224 ÷ 217
    43224 ÷ 131072     		y = 0.32977294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499229431152344 × 2 - 1) × π
    -0.0015411376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00484163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32977294921875 × 2 - 1) × π
    0.3404541015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.06956810432269
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00484163} λ = -0.00484163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06956810432269))-π/2
    2×atan(2.91412063204262)-π/2
    2×1.24023095474347-π/2
    2.48046190948694-1.57079632675     		φ = 0.90966558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00484163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.277405°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90966558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.119999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65435 KachelY 43224 -0.00484163 0.90966558 -0.277405 52.119999
    Oben rechts KachelX + 1 65436 KachelY 43224 -0.00479369 0.90966558 -0.274658 52.119999
    Unten links KachelX 65435 KachelY + 1 43225 -0.00484163 0.90963615 -0.277405 52.118312
    Unten rechts KachelX + 1 65436 KachelY + 1 43225 -0.00479369 0.90963615 -0.274658 52.118312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90966558-0.90963615) × R
    2.9429999999997e-05 × 6371000     		dl = 187.498529999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90966558-0.90963615) × R
    2.9429999999997e-05 × 6371000     		dr = 187.498529999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00484163--0.00479369) × cos(0.90966558) × R
    4.79400000000007e-05 × 0.614009741004857 × 6371000     		do = 187.534379513619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00484163--0.00479369) × cos(0.90963615) × R
    4.79400000000007e-05 × 0.614032969792235 × 6371000     		du = 187.541474183194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90966558)-sin(0.90963615))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614009741004857-0.614032969792235)×R²
    abs(-0.00479369--0.00484163)×2.32287873781489e-05×R²
    4.79400000000007e-05×2.32287873781489e-05×6371000²
    4.79400000000007e-05×2.32287873781489e-05×40589641000000     		ar = 35163.085605652m²