Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65430 / 48074
↖ ↑ ↗
← N 43.177141°
W  0.291138°		 ← 222.73 m → N 43.177141°
W  0.288391°		 →
↑
222.73 m
↓
↑
222.73 m
↓
N 43.175138°
W  0.291138°		 ← 222.74 m →
49 609 m²		 N 43.175138°
W  0.288391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499195098876953 y=0.366779327392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499195098876953 × 217)
    floor (0.499195098876953 × 131072)
    floor (65430.5)     		tx = 65430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366779327392578 × 217)
    floor (0.366779327392578 × 131072)
    floor (48074.5)     		ty = 48074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65430 / 48074 ti = "17/65430/48074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65430/48074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65430 ÷ 217
    65430 ÷ 131072     		x = 0.499191284179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48074 ÷ 217
    48074 ÷ 131072     		y = 0.366775512695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499191284179688 × 2 - 1) × π
    -0.001617431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00508131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366775512695312 × 2 - 1) × π
    0.266448974609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.837074141165421
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00508131} λ = -0.00508131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.837074141165421))-π/2
    2×atan(2.30959951913863)-π/2
    2×1.16218980243758-π/2
    2.32437960487515-1.57079632675     		φ = 0.75358328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00508131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.291138°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75358328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.177141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65430 KachelY 48074 -0.00508131 0.75358328 -0.291138 43.177141
    Oben rechts KachelX + 1 65431 KachelY 48074 -0.00503337 0.75358328 -0.288391 43.177141
    Unten links KachelX 65430 KachelY + 1 48075 -0.00508131 0.75354832 -0.291138 43.175138
    Unten rechts KachelX + 1 65431 KachelY + 1 48075 -0.00503337 0.75354832 -0.288391 43.175138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75358328-0.75354832) × R
    3.49599999999173e-05 × 6371000     		dl = 222.730159999473m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75358328-0.75354832) × R
    3.49599999999173e-05 × 6371000     		dr = 222.730159999473m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00508131--0.00503337) × cos(0.75358328) × R
    4.79400000000007e-05 × 0.729241674165411 × 6371000     		do = 222.729177970813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00508131--0.00503337) × cos(0.75354832) × R
    4.79400000000007e-05 × 0.729265595317372 × 6371000     		du = 222.736484106352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75358328)-sin(0.75354832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729241674165411-0.729265595317372)×R²
    abs(-0.00503337--0.00508131)×2.39211519607041e-05×R²
    4.79400000000007e-05×2.39211519607041e-05×6371000²
    4.79400000000007e-05×2.39211519607041e-05×40589641000000     		ar = 49609.3190992768m²