Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65429 / 48077
↖ ↑ ↗
← N 43.171132°
W  0.293884°		 ← 222.75 m → N 43.171132°
W  0.291138°		 →
↑
222.73 m
↓
↑
222.73 m
↓
N 43.169129°
W  0.293884°		 ← 222.76 m →
49 614 m²		 N 43.169129°
W  0.291138°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499187469482422 y=0.366802215576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499187469482422 × 217)
    floor (0.499187469482422 × 131072)
    floor (65429.5)     		tx = 65429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366802215576172 × 217)
    floor (0.366802215576172 × 131072)
    floor (48077.5)     		ty = 48077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65429 / 48077 ti = "17/65429/48077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65429/48077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65429 ÷ 217
    65429 ÷ 131072     		x = 0.499183654785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48077 ÷ 217
    48077 ÷ 131072     		y = 0.366798400878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499183654785156 × 2 - 1) × π
    -0.0016326904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00512925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366798400878906 × 2 - 1) × π
    0.266403198242188 × 3.1415926535     		Φ = 0.83693033046656
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00512925} λ = -0.00512925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.83693033046656))-π/2
    2×atan(2.30926739789956)-π/2
    2×1.16213736348013-π/2
    2.32427472696027-1.57079632675     		φ = 0.75347840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00512925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.293884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75347840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.171132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65429 KachelY 48077 -0.00512925 0.75347840 -0.293884 43.171132
    Oben rechts KachelX + 1 65430 KachelY 48077 -0.00508131 0.75347840 -0.291138 43.171132
    Unten links KachelX 65429 KachelY + 1 48078 -0.00512925 0.75344344 -0.293884 43.169129
    Unten rechts KachelX + 1 65430 KachelY + 1 48078 -0.00508131 0.75344344 -0.291138 43.169129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75347840-0.75344344) × R
    3.49600000000283e-05 × 6371000     		dl = 222.73016000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75347840-0.75344344) × R
    3.49600000000283e-05 × 6371000     		dr = 222.73016000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00512925--0.00508131) × cos(0.75347840) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.729313434947336 × 6371000     		do = 222.751095560731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00512925--0.00508131) × cos(0.75344344) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.72933735342528 × 6371000     		du = 222.758400879557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75347840)-sin(0.75344344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729313434947336-0.72933735342528)×R²
    abs(-0.00508131--0.00512925)×2.39184779443624e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39184779443624e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39184779443624e-05×40589641000000     		ar = 49614.2007169369m²