Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65429 / 45461
↖ ↑ ↗
← N 48.186232°
W  0.293884°		 ← 203.63 m → N 48.186232°
W  0.291138°		 →
↑
203.62 m
↓
↑
203.62 m
↓
N 48.184401°
W  0.293884°		 ← 203.64 m →
41 463 m²		 N 48.184401°
W  0.291138°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499187469482422 y=0.346843719482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499187469482422 × 217)
    floor (0.499187469482422 × 131072)
    floor (65429.5)     		tx = 65429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346843719482422 × 217)
    floor (0.346843719482422 × 131072)
    floor (45461.5)     		ty = 45461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65429 / 45461 ti = "17/65429/45461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65429/45461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65429 ÷ 217
    65429 ÷ 131072     		x = 0.499183654785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45461 ÷ 217
    45461 ÷ 131072     		y = 0.346839904785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499183654785156 × 2 - 1) × π
    -0.0016326904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00512925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346839904785156 × 2 - 1) × π
    0.306320190429688 × 3.1415926535     		Φ = 0.962333259872627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00512925} λ = -0.00512925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.962333259872627))-π/2
    2×atan(2.61779735470696)-π/2
    2×1.20590236758424-π/2
    2.41180473516848-1.57079632675     		φ = 0.84100841
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00512925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.293884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84100841 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.186232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65429 KachelY 45461 -0.00512925 0.84100841 -0.293884 48.186232
    Oben rechts KachelX + 1 65430 KachelY 45461 -0.00508131 0.84100841 -0.291138 48.186232
    Unten links KachelX 65429 KachelY + 1 45462 -0.00512925 0.84097645 -0.293884 48.184401
    Unten rechts KachelX + 1 65430 KachelY + 1 45462 -0.00508131 0.84097645 -0.291138 48.184401
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84100841-0.84097645) × R
    3.19600000000531e-05 × 6371000     		dl = 203.617160000338m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84100841-0.84097645) × R
    3.19600000000531e-05 × 6371000     		dr = 203.617160000338m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00512925--0.00508131) × cos(0.84100841) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.666711581031612 × 6371000     		do = 203.630878003149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00512925--0.00508131) × cos(0.84097645) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.66673540098463 × 6371000     		du = 203.638153229927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84100841)-sin(0.84097645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666711581031612-0.66673540098463)×R²
    abs(-0.00508131--0.00512925)×2.38199530178118e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38199530178118e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38199530178118e-05×40589641000000     		ar = 41463.4817514444m²