Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65427 / 45459
↖ ↑ ↗
← N 48.189895°
W  0.299377°		 ← 203.57 m → N 48.189895°
W  0.296631°		 →
↑
203.62 m
↓
↑
203.62 m
↓
N 48.188064°
W  0.299377°		 ← 203.58 m →
41 452 m²		 N 48.188064°
W  0.296631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499172210693359 y=0.346828460693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499172210693359 × 217)
    floor (0.499172210693359 × 131072)
    floor (65427.5)     		tx = 65427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346828460693359 × 217)
    floor (0.346828460693359 × 131072)
    floor (45459.5)     		ty = 45459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65427 / 45459 ti = "17/65427/45459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65427/45459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65427 ÷ 217
    65427 ÷ 131072     		x = 0.499168395996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45459 ÷ 217
    45459 ÷ 131072     		y = 0.346824645996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499168395996094 × 2 - 1) × π
    -0.0016632080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00522512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346824645996094 × 2 - 1) × π
    0.306350708007812 × 3.1415926535     		Φ = 0.962429133671867
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00522512} λ = -0.00522512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.962429133671867))-π/2
    2×atan(2.6180483449165)-π/2
    2×1.20593432652856-π/2
    2.41186865305713-1.57079632675     		φ = 0.84107233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00522512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.299377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84107233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.189895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65427 KachelY 45459 -0.00522512 0.84107233 -0.299377 48.189895
    Oben rechts KachelX + 1 65428 KachelY 45459 -0.00517719 0.84107233 -0.296631 48.189895
    Unten links KachelX 65427 KachelY + 1 45460 -0.00522512 0.84104037 -0.299377 48.188064
    Unten rechts KachelX + 1 65428 KachelY + 1 45460 -0.00517719 0.84104037 -0.296631 48.188064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84107233-0.84104037) × R
    3.19600000000531e-05 × 6371000     		dl = 203.617160000338m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84107233-0.84104037) × R
    3.19600000000531e-05 × 6371000     		dr = 203.617160000338m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00522512--0.00517719) × cos(0.84107233) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.66666393908258 × 6371000     		do = 203.573853766052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00522512--0.00517719) × cos(0.84104037) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.666687760397588 × 6371000     		du = 203.58112789116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84107233)-sin(0.84104037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66666393908258-0.666687760397588)×R²
    abs(-0.00517719--0.00522512)×2.3821315007333e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.3821315007333e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.3821315007333e-05×40589641000000     		ar = 41451.8705260822m²