Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65426 / 45455
↖ ↑ ↗
← N 48.197218°
W  0.302124°		 ← 203.59 m → N 48.197218°
W  0.299377°		 →
↑
203.62 m
↓
↑
203.62 m
↓
N 48.195387°
W  0.302124°		 ← 203.59 m →
41 455 m²		 N 48.195387°
W  0.299377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499164581298828 y=0.346797943115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499164581298828 × 217)
    floor (0.499164581298828 × 131072)
    floor (65426.5)     		tx = 65426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346797943115234 × 217)
    floor (0.346797943115234 × 131072)
    floor (45455.5)     		ty = 45455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65426 / 45455 ti = "17/65426/45455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65426/45455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65426 ÷ 217
    65426 ÷ 131072     		x = 0.499160766601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45455 ÷ 217
    45455 ÷ 131072     		y = 0.346794128417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499160766601562 × 2 - 1) × π
    -0.001678466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00527306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346794128417969 × 2 - 1) × π
    0.306411743164062 × 3.1415926535     		Φ = 0.962620881270348
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00527306} λ = -0.00527306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.962620881270348))-π/2
    2×atan(2.6185503975315)-π/2
    2×1.2059982375661-π/2
    2.4119964751322-1.57079632675     		φ = 0.84120015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00527306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.302124°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84120015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.197218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65426 KachelY 45455 -0.00527306 0.84120015 -0.302124 48.197218
    Oben rechts KachelX + 1 65427 KachelY 45455 -0.00522512 0.84120015 -0.299377 48.197218
    Unten links KachelX 65426 KachelY + 1 45456 -0.00527306 0.84116819 -0.302124 48.195387
    Unten rechts KachelX + 1 65427 KachelY + 1 45456 -0.00522512 0.84116819 -0.299377 48.195387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84120015-0.84116819) × R
    3.19600000000531e-05 × 6371000     		dl = 203.617160000338m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84120015-0.84116819) × R
    3.19600000000531e-05 × 6371000     		dr = 203.617160000338m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00527306--0.00522512) × cos(0.84120015) × R
    4.79400000000007e-05 × 0.666568661922085 × 6371000     		do = 203.587226828365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00527306--0.00522512) × cos(0.84116819) × R
    4.79400000000007e-05 × 0.666592485960353 × 6371000     		du = 203.594503302883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84120015)-sin(0.84116819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666568661922085-0.666592485960353)×R²
    abs(-0.00522512--0.00527306)×2.38240382682831e-05×R²
    4.79400000000007e-05×2.38240382682831e-05×6371000²
    4.79400000000007e-05×2.38240382682831e-05×40589641000000     		ar = 41454.5937503758m²