Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65425 / 45454
↖ ↑ ↗
← N 48.199049°
W  0.304871°		 ← 203.58 m → N 48.199049°
W  0.302124°		 →
↑
203.55 m
↓
↑
203.55 m
↓
N 48.197218°
W  0.304871°		 ← 203.59 m →
41 440 m²		 N 48.197218°
W  0.302124°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499156951904297 y=0.346790313720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499156951904297 × 217)
    floor (0.499156951904297 × 131072)
    floor (65425.5)     		tx = 65425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346790313720703 × 217)
    floor (0.346790313720703 × 131072)
    floor (45454.5)     		ty = 45454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65425 / 45454 ti = "17/65425/45454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65425/45454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65425 ÷ 217
    65425 ÷ 131072     		x = 0.499153137207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45454 ÷ 217
    45454 ÷ 131072     		y = 0.346786499023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499153137207031 × 2 - 1) × π
    -0.0016937255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00532100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346786499023438 × 2 - 1) × π
    0.306427001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.962668818169968
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00532100} λ = -0.00532100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.962668818169968))-π/2
    2×atan(2.61867592572775)-π/2
    2×1.20601421389819-π/2
    2.41202842779639-1.57079632675     		φ = 0.84123210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00532100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.304871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84123210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.199049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65425 KachelY 45454 -0.00532100 0.84123210 -0.304871 48.199049
    Oben rechts KachelX + 1 65426 KachelY 45454 -0.00527306 0.84123210 -0.302124 48.199049
    Unten links KachelX 65425 KachelY + 1 45455 -0.00532100 0.84120015 -0.304871 48.197218
    Unten rechts KachelX + 1 65426 KachelY + 1 45455 -0.00527306 0.84120015 -0.302124 48.197218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84123210-0.84120015) × R
    3.19500000000028e-05 × 6371000     		dl = 203.553450000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84123210-0.84120015) × R
    3.19500000000028e-05 × 6371000     		dr = 203.553450000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00532100--0.00527306) × cos(0.84123210) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.666544844657605 × 6371000     		do = 203.579952422733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00532100--0.00527306) × cos(0.84120015) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.666568661922085 × 6371000     		du = 203.587226828362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84123210)-sin(0.84120015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666544844657605-0.666568661922085)×R²
    abs(-0.00527306--0.00532100)×2.3817264479864e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.3817264479864e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.3817264479864e-05×40589641000000     		ar = 41440.1420352026m²